Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
<Риа , 2 dua О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 277
то функция (12.13) может быть представлена в виде
г
При помощи этой формулы легко показать, что
сю
\|)а dx dy dz = 4л; j \f>a (г) г2 dr = єа, (12.16)
о
где, согласно (10.38), га есть абсолютная величина взаимной потенциальной энергии частиц, составляющих массу та. Так как г|)а не отрицательна, а интеграл от нее дает еа, то функцию г|)а (г) можно условно назвать плотностью потенциальной энергии.
В дальнейшем мы будем разуметь под г|)а без указания аргумента значение этой функции для аргумента | г — а ]. При помощи этой функции мы можем написать следующие^приближенные выражения для тензора материи:
2 bk S Ф«. (12Л7>
а а
^ = ^-(1-!?-) 2 P(12Л8>
а
Т0І=7- (1- -sH 2 ра {і +4F - W)}+2
a a
(12.19)
Соответственно точности наших вычислений, пространственные компоненты определены с точностью до величин четвертого порядка, а временная и смешанные компоненты — с точностью до величин шестого порядка (исключительно).
Для массы ma, обладающей сферической симметрией, мы имеем
} PaUia' (Г) dx = maU{a) (а)9 (12.20)
так как U(a) (г) есть функция гармоническая. При помощи этой формулы нетрудно проверить, что написанные выше выражения для тензора материи приводят к правильным выражениям для U1 Ui1 Uik вне масс.
Остается вычислить расходимость тензора T^xv. По формулам (12.05) и (12.06) мы будем иметь 2 278 В. А. Фок
а
В этих формулах выражение в фигурных скобках весьма мало. В самом деле, это есть разность между значением ускорения внешнего поля, взятым в данной точке внутри массы та, и его значением в ее центре. В силу сделанных нами предположений (L Л), этой величиной можно пренебречь и считать, что условие равенства нулю расходимости тензора материи выполняется с достаточной точностью.
Таким образом, нами установлены значения тензора материи внутри масс.
Рассмотрим теперь значение потенциала тяготения U на столь большом расстоянии от всех масс, что каждое из расстояний I г — а I можно заменить расстоянием г до их центра тяжести. Для столь больших расстояний поправка на запаздывание уже не имеет того вида, какой указан в формуле (11.40); поэтому мы ее оставим пока в стороне. Отбрасывая последний член в (11.40) и заменяя там | г — а | на г, мы получим
^=7(2^+13(1^-1^""^))}- (12-23)
а а
Вследствие (11.22) мы имеем
2 -2Ф, (12.24)
а а
где Ф — потенциальная энергия системы. Поэтому, если мы положим
yZma = M9 (12.25)
а
2 у таЯ+Ф = Е, (12.26)
а
то формула (12.23) для U напишется в виде
= (12.27)
Но величина E есть полная энергия системы. Следовательно, она остается постоянной в силу уравнений движения, которые, как мы показали, являются следствием тех же уравнений Эйнштейна. Поэтому величина (12.27) строго удовлетворяет уравнению О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 279
Даламбера и отброшенная нами поправка на запаздывание фактически равна нулю.
Полученная формула для ньютонова потенциала тяготения показывает, что на весьма больших расстояниях от нашей системы тел притягивающее действие оказывает не только сумма масс отдельных тел, но также и их кинетическая и потенциальная энергия. При этом сумма масс комбинируется с полной энергией в сочетании M + ?7с2, соответствующем закону эквивалентности массы и энергии. Таким образом, и этот закон уже содержится по существу в уравнениях тяготения Эйнштейна.
В нашей работе мы получили приближенное решение уравнений тяготения Эйнштейна для распределения материи, подобного имеющему место в Солнечной системе. Наши основные физические предположения заключаются в следующем. Во-первых, пространство на бесконечности предполагается евклидовым. Во-вторых, распределение плотности в небесных телах предполагается сферически-симметричным. В-третьих, предполагается, что массы, линейные размеры, скорости и взаимные расстояния тел удовлетворяют неравенствам
Первое из этих неравенств означает, что линейные размеры тел L весьма велики по сравнению с их гравитационными радиусами а = ут/с2, но в то же время достаточно малы по сравнению с их взаимными расстояниями R. Второе неравенство (у2 с2) есть следствие первого (а L), если к системе тел применима теорема вириала.
Таким образом, рассмотренная нами физическая задача не имеет никакого отношения к так называемой космологической проблеме 1).
Примененный нами приближенный метод состоит формально в разложении по обратным степеням скорости света или, если выражаться более точно, по степеням лишенных размерности малых величин Ulc2 и у2/с2. Обе эти величины мы считаем одного порядка
Нам представляется, что при современном состоянии наших знаний всякая попытка рассматривать Вселенную в целом неизбежно должна носить спекулятивный характер. Поэтому мы совершенно не рассматриваем здесь связанных с этим вопросов, в частности предложенного Эйнштейном видоизменения его уравнений (космологический член), которое кажется нам мало обоснованным.
13. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
а < L < R,
Vі < с2.
(13.01)
(13.02) 2 280 В. А. Фок
