Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
риантный тензор материи J^v, в силу (5), имеет следующий простой вид:
0 0 0 0
0 0 0 0 (6)
0 0 0 0#
OOOp
Скаляр р (средней) плотности распределения априори может быть функцией пространственных координат. Однако если мы предполагаем, что мир пространственно замкнут, то естественно сделать гипотезу, что р не зависит от места; эту гипотезу мы и положим в основу дальнейших рассуждений.
Что касается гравитационного поля, то из уравнения движения материальной точки
^fv , /a? \ Jfa dXb л
ds2 ii v / ds ds
следует, что материальная точка в статическом гравитационном поле может находиться в покое только тогда, когда gu не зависит от места. Так как, кроме того, мы для всех величин предполагаем независимость от временной координаты х4, то для искомого решения можем потребовать, чтобы для всех Xv
?44 = 1. (7)
Далее, как это обычно делается в статических задачах, нужно положить, что
gu = ?24 = ?34 = 0. (8)
Теперь остается еще определить те компоненты потенциала гравитационного поля, которые характеризуют чисто пространственно-геометрические свойства нашего континуума(gu, g12, . . g3s)-Из нашего допущения о равномерности распределения масс, создающих поле, следует, что и кривизна искомого метрического пространства должна быть постоянной. Таким образом, при заданном распределении масс искомый замкнутый континуум (xly х2, X3 при постоянном я4) должен быть сферическим пространством.
К такому пространству мы приходим, например, следующим образом. Будем исходить из евклидова пространства (^1, ?4)
четырех измерений с линейным элементом do; пусть тогда
<fo» = dg + dg + dg + dg. (9)
Рассмотрим в этом пространстве гиперповерхность
(10) ВОПРОСЫ КОСМОЛОГИИ и ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 295
где R — постоянная. Точки этой гиперповерхности образуют трехмерный континуум — сферический объем с радиусом кривизны R.
Четырехмерное евклидово пространство, из которого мы исходили, служит только для удобного определения нашей гиперповерхности. Нас интересуют только точки этой поверхности, метрические свойства которой должны совпадать со свойствами физического пространства с равномерным распределением материи. Для описания этого трехмерного континуума можно пользоваться координатами ^1, |2, (проекции на гиперплоскость ^4 = 0), так как, в силу (10), можно ^4 выразить через ^1, ?2, Исключая ^4 из (9), получаем следующее выражение для линейного элемента сферического пространства:
где Sjiv = 1, если |х = v, и Sjiv = 0, если \1 ф v, а p^ = ^2i + + Il гЬ й- Выбранные координаты удобны, когда речь идет об исследовании окрестности точки = ^2 = = 0.
Итак, нам дан теперь также и линейный элемент искомого четырехмерного пространственно-временного мира. Очевидно, для потенциалов ^xv, У которых оба индекса отличаются от 4, мы должны написать
Это равенство вместе с (7) и (8) вполне определяет свойства масштабов, часов и лучей света в рассматриваемом четырехмерном мире.
§ 4. О ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ ЧЛЕНЕ,
КОТОРЫЙ НЕОБХОДИМО ВВЕСТИ В УРАВНЕНИЯ
ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Уравнения гравитационного поля, предложенные мной для произвольно выбранной системы координат, имеют следующий вид:
da2 = Ylxv 6? _ с , ^txSv
YHV — 0JlV T J?2__ р2 У
(И)
(12)
где
(13) 296 А. Эйнштейн
Система уравнений (13) никогда не будет удовлетворена, если вместо ^iliv подставить их значения из (7), (8) и (12), а вместо (контравариантного) тензора энергии материи — значения (6). В следующем параграфе будет показано, как удобнее всего произвести подобный расчет. Таким образом, если бы была уверенность в том, что только уравнения поля (13), которые я пока не использовал, согласуются с общим принципом относительности, следовало бы, конечно, заключить, что теория относительности несовместима с гипотезой пространственной замкнутости мира.
Однако система уравнений (13) допускает одно весьма простое обобщение, совместимое с постулатом относительности и полностью аналогичное данному выше в виде уравнения (2) обобщению уравнения Пуассона. В самом деле, к левой части уравнения поля (13) мы можем прибавить фундаментальный тензор g умноженный на неизвестную пока универсальную константу —Jt, не нарушая этим общей ковариантности, т. е. вместо уравнения поля (13) положить
Gllv-Kglkv=-к (T^'—g^T). (13а)
Это уравнение поля при достаточно малом значении Ji во всяком случае тоже совместимо с результатами наблюдений над Солнечной системой. Оно удовлетворяет также законам сохранения импульса и энергии; в самом деле, вместо уравнения (13) можно получить уравнение (13а), если в принцип Гамильтона, гарантирующий правильность этих законов, вместо скаляра тензора Римана подставить этот же скаляр, умноженный на универсальную постоянную. Ниже будет показано, что уравнение поля (13а) совместимо с нашими предположениями относительно поля и материи.
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЯ. РЕЗУЛЬТАТ
Так как все точки нашего континуума равноценны, то достаточно выполнить вычисление для одной точки, например для точки с координатами X1 = X2 — xs — X4 = 0.
