Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем вместо координат г, г|), 8 ввести другие координаты, посредством которых эллиптическое или сферическое пространство проектировалось бы на евклидово или гиперболическое пространство. Путем преобразования
г = R tg % (12)
все эллиптическое пространство проектируется на все евклидово пространство 2). Проекция же сферического пространства дважды
1J Таково же мнение и самого Эйнштейна (сообщенное автору в письме).
2) Преобразование
/і = R sin %
ставит эллиптическое пространство в соответствие части евклидова пространства, ограниченной сферой радиусом T1=R. Отображение же сферического
20-0919 306 В. де Cummep
покрывает евклидово пространство, причем проекции антиподных точек совпадают.
Четырехмерный элемент длины в таких координатах будет для двух рассматриваемых систем равен
, о dr2 г2 W + sin2 . 9 , /л 0 Л ч
ds-ЩW--l+ег« + (13А>
/7с2- ^r2 Г« W2 + аіп'ф , c2 dt2 /л qp\
(1+8Г2)2 Г+ЄГ2 Ґ1+8Г2-
Если5мы теперь положим
X1 = г sin г|) sin 0, X2 = г sin г|) cos 0, X3 — г cos г|),
X4 = et,
пространства дважды заполняет эту сферу. Если мы положим
X1 = T1 sin г|) sin 0, Уі — ri s^n cosG, Z1 = T1 cos г|),
то получим координаты X11 уІУ Z11 которыми Эйнштейн пользовался в своей работе от февраля 1917 г. В этих координатах трехмерный элемент длины имеет вид
хг-1' -«г-.' ^ ' ZiXj dxf dxj
&Ї+2 S .
гід
Если мы еще добавим
U1 = R cos X,
то получим координаты Вейерштрасса X1, yl9 Z11 U1.
Риман пользовался координатами, определяющимися преобразованием
r2 = 2R t gl
При этом линейный элемент принимает вид
^ rfrj + rj [rft2+ sin2 ^HQ2I
(1 + ГІ/4Л2)2
При таком преобразовании (которое использовал также и автор в своей работе от марта 1917 г.) сферическое пространство целиком отображается на все евклидово пространство. Эллиптическое же пространство отображается на шар r2 < 2R.
Преобразование, которое использовано в данной статье, приводит к координатам Бельтрами. О ТЕОРИИ ТЯГОТЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 307
то компоненты ^v в этих координатах примут вид
1+8Г2'
При г = 0 компоненты ^fxv имеют значения (1) для обеих систем А и Б. При г = оо они вырождаются в следующие:
OOOO
Набор (IA) значений компонент инвариантен относительно всех преобразований, при которых t' = t (на бесконечности); набор же (1Б) инвариантен относительно любых преобразований х). Поэтому оказывается, что система А лишь в том случае удовлетворяет математическому постулату об относительности инерции, если он применяется только к трехмерному пространству. Другими словами, если мы представим себе, что трехмерное пространство (х1? х2, х3) с его мировой массой может двигаться в неком абсолютном пространстве, то мы никогда не сможем обнаружить путем наблюдений его движение: всякое движение материальных тел происходит относительно пространства (X1, х2, х3) с мировой массой, а не относительно нашего абсолютного пространства. Таким образом, мировая материя становится на место абсолютного пространства ньютоновской теории, или так называемой «инер-циальной системы». Это не что иное, как материализованная инерциальная система. Отметим, что в системе А такую относительность инерции можно осуществить, лишь приняв время практически абсолютным. Правда, основные уравнения теории: уравнение (3) и уравнения движения, т. е. дифференциальные уравнения геодезической,— инвариантны относительно всех преобразований. Но лишь те преобразования, при которых tr = t на бесконечности, не меняют набора значений (1А). В противоположность этому в системе Б имеется полная инвариантность относительно любых преобразований всех четырех переменных.
0 0 0 0
0 0 0 0' 0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(IA)
(1Б)
1J С тем ограничением, что ни один из коэффициентов dxi/dxj не обращается на бесконечности в бесконечность. 308 В. де Cummep
Система Б — это четырехмерный аналог трехмерного пространства системы А. Если мы возьмем
ds2 = —R*{dcо2 + sin^ (0 (dt* + Sin2 ? [dty* + sin^ ф d84)>, (14)
то компоненты ^jxv, определяющие этот элемент длины, будут удовлетворять уравнениям (3) с условиями (9Б). Чтобы избежать появления мнимых углов, мы можем положить
(о = Uо', ? = i?\
Тогда элемент длины принимает вид г)
ds2 =г RZ (dco'2 - sh2 со' (d?'2 + sh2 [d\|>2 + sin2 ф d92])}. (15)
Если мы теперь положим
р = Л th со' sh с, т = R th со' ch ?',
то получим
, 9 — (1— 8Т2) Ф2 —2єртф^т + (1+єр2) ^T2 P2 [^ + Sin2IMfE2I (лаХ aS — [1 +Є (P2-T2)]2 1+Є(р2_т2) . (1D>
x) Положив
r= і? sh cd' sh t = і? sh со' ch
X = г sin if sin 0, u=i?ch©',
y = r sin ф cos 0, z = r cosif»,
мы получим
= — dx2 — dy2 — dz2 + dt2 — du2
и
і?2 — X2 — у2 — Z2 + t2 — U2 = 0. (а)
Последнее соотношение есть уравнение однополостного гиперболоида в пятимерном пространстве (х, у, z, t, и). Проекция точки данного гиперболоида с координатами х, у, z, t, и на четырехмерное пространство u = R1 если принять за начало координат точку с координатами x=y=z = t = u= 0, имеет координаты т], т, такие, что
