Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Более подробная оценка членов с первыми производными (которая может быть произведена после получения исходного приближения) показывает, что это будет действительно так для уравнений со значками (0, 0) и (0, і). Для уравнений же с пространственными значками (i, к) некоторые члены с первыми производными оказываются того же порядка, как и те, которые сгруппированы в виде оператора Даламбера. Поэтому мы можем ограничиться линейными членами в уравнениях для $00 и $0г, но не можем этого делать в уравнениях для Qik.
Если мы для коэффициентов оператора Даламбера возьмем их евклидовы значения, то мы получим для з00 и уравнения
1 = (7.03)
2с 2с
Здесь символ А означает оператор Лапласа для евклидовой метрики:
^-3+-3-+3- <™5>
Уравнения для Qlk будут иметь вид более сложный, чем (7.03) и (7.04), так как в них нужно учесть уже в первом приближении некоторые из членов с первыми производными. Это будет сделано ниже (в § 10).
Согласно формулам (6.06), (6.07) и (6.09), все контравариантные компоненты T^v тензора материи будут одного и того же (а именно второго) порядка относительно Не. Отсюда и из уравнений (7.03) и (7.04) легко видеть, что отклонения ^00 и з0і от их евклидовых значений будут третьего порядка относительно Не. Но того же третьего порядка будут и поправки к $гк. В самом деле, хотя вид уравнения для $гк несколько другой, главные (линейные) члены в нем те же, как и в (7.03) и в (7.04); порядок же величины добавочных членов будет в нем тот же, как и главных. Поэтому поправки ко всем ^v будут одного и того же, а именно третьего, порядка.
Если мы будем разлагать эти поправки по обратным степеням с, то первые члены разложения будут иметь вид
••• • (7-06)
+ .... (7.07) 8<*= -c8ik __________(7.08) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 253
Для определения величин UnUiB этих выражениях достаточно уравнений (7.03) и (7.04). Подставляя в эти уравнения значения (6.06) и (6.07) для компонент тензора материи и пренебрегая в операторе Даламбера членом с второй производной по времени, мы получим
AU= —Any 2 ра, (7.09)
а
Д[/.= _ 4nvSpaa7.. (7.10)
Предполагая, что каждая из масс обладает сферической симметрией, мы можем положить
^=STStt <7Л1>
а
tf* =SttSTT^ (7.1?
а
Если бы мы не ввели предположения о сферической симметрии масс, то эти выражения пришлось бы дополнить членами, происходящими от неравенства моментов инерции масс. Для простоты вычислений мы ограничиваемся здесь случаем сферической симметрии.
Величина U есть не что иное, как ньютонов потенциал тяготения, а векторным потенциалом были бы тогда величины Ui. Это название оправдывается очевидным сходством формул (7.11) и (7.12) с известными приближенными выражениями для соответствующих электродинамических величин.
Потенциалы UftUi удовлетворяют соотношению
^.+ "L = O. (7.13)
Выражения (7.11) и (7.12) для UnUi будут справедливы вне масс. Что касается значений этих функций внутри масс, то для определения их нужно знать точный вид функций ра, т. е. распределение плотности внутри масс.
8. ТЕНЗОР ЭЙНШТЕЙНА ВО ВТОРОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Мы получили следующее приближение для величин ^v:
000 = 4" + "7Г» (8-01)
(8.02)
9і"=-сб*. (8.03) 2 254 В. А. Фок
где величины U и Ui удовлетворяют вне масс уравнению Лапласа и определяются формулами (7.11) и (7,12). Это приближение мы будем называть исходным или первым приближением. Его можно было бы назвать также линейным, так как соответствующие ему выражения для ^v удовлетворяют линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Знание ^v в первом приближении позволяет вычислить тензор Эйнштейна во втором приближении и тем самым оценить отброшенные члены в уравнениях (7.03) и (7.04).
Для этого оценим прежде всего точность, с которой выполняются условия гармоничности
Г =--* 4^. = 0. (8.04)
V—g дхH v '
Вследствие равенства (7.13) величина Г° будет шестого порядка, а Г1 — четвертого порядка относительно 11с. Согласно определению (3.13), отсюда следует, что Г00 будет восьмого, Гог— шестого и Tik — четвертого порядка. Такого же порядка будут отброшенные члены (содержащие 1>V или в выражениях
для соответствующих компонент тензора Эйнштейна.
Найдем теперь приближенные значения членов с первыми производными в этих выражениях. На основании определения (2.15) величин np'^v мы получим следующую таблицу:
гго оо_ 2 дЦ
~~ с® dt '
ТТ°т0*— 2 d^
C4 Qxl '
^'=4.(?- + -?-). (8-05)
ттг? оо___2 дЦ
~~ с4 дхі '
П*т'м= 2 ( dUi dUk \ с4 \ dxk дХі г
Опуская значки при помощи евклидовых значений фундаментального тензора, выводим отсюда
ло 2 ди
Iloo = ——-QT:
л0 2 dU
Но I =
с2 дхі О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 255
Пів=-2 dU
дХі '
тті ___2 / dUj duk \
11M) — - С2 ^ QXk Q4 ) »
^=0(^-).
Получаемые из первого приближения величины и И\і
равны[нулю; поэтому мы указываем здесь только их порядок величины.
При помощи найденных значений nv'a? и П^ мы можем вычислить суммы, входящие в формулу (7.02). Мы имеем
П0' a?IIa? = —(grad U)2, (8.07)
