Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Резюмируя нашу точку зрения, мы можем сказать, что, согласно ей, предмет общей теории относительности есть изучение явлений тяготения; вопросы же микромира подлежат ведению квантовой механики. Разумеется, мыслимы и такие явления, в которых одинаково важную роль играют как законы тяготения, так и законы квантовой механики (возможно, что сюда следует отнести вопросы структуры звезд).
В противоположность этому нашему взгляду Эйнштейн видит в своей теории относительности путь к решению проблемы элементарных частиц. В упомянутой своей работе, посвященной общим законам движения [2], он ставит задачу следующим образом.
«Требуется найти такое решение уравнений, которое бесконечно близко к статическому центрально-симметричному решению с точечной особенностью. Такое решение должно соответствовать случаю электрона в слабом внешнем поле».
Таким образом, и здесь Эйнштейн, говоря об особенных точках решений своих уравнений, имеет в виду в первую очередь элементарные частицы, а не небесные тела. Все дальнейшие работы Эйнштейна прямо или косвенно связаны с идеей объяснения элементарных частиц как особенных точек поля х). Это замечание относится, в частности, к тем работам Эйнштейна, которые посвящены многочисленным «единым» теориям поля. Наконец, неполное и условное признание Эйнштейном квантовой механики, несомненно, имеет своей основой не только его научный
х) См., например, [3]. О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ МАСС 235
консерватизм, но и надежду объяснить элементарные частицы как особенные точки поля [4].
Этой надежды мы ни в какой мере не разделяем, и нам кажется, что колоссальные успехи квантовой механики за истекшие 10— 15 лет, при полном неуспехе сделанных за то же время попыток Эйнштейна объяснить элементарные частицы при помощи единой теории поля, достаточно выяснили положение в пользу квантовой механики.
С тем большим основанием следует преклониться перед гениальным созданием Эйнштейна — его теорией тяготения, столь богатой физическим содержанием, несмотря на ее кажущуюся абстрактность. Мы надеемся, что и настоящая наша работа будет способствовать раскрытию физического содержания этой замечательной теории.
2. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
Мы будем обозначать координаты через xq, x11 х2, хв, причем x0 будет иметь характер времени, a x1, х2, x3 — пространственный характер. Вместо х0 мы часто будем писать букву t. Квадрат элемента дуги мы будем писать в виде
ds2 = g^vdx^dxy, (2.01)
подразумевая, как принято, суммирование по всем значкам [л и v от 0 до 3. Вообще греческие значки будут пробегать у нас значения от 0 до 3, а латинские — только от 1 до 3. Например, формулу (2.01) можно переписать в виде
ds2 = goodxl + 2 g0idx0dxi + gikdxidxk. (2.02)
Знак ds2 выбран так, чтобы было g00 > 0. Следовательно, если dxt = 0, dx о =7^=0, то будет ds2> 0. Таким образом, в пространстве Минковского мы имели бы
ds2 = Ай* - dx\ - dx\ — dx\. (2.03)
Обозначим, как принято, через g определитель, составленный из и через ^v — деленные на g его миноры, т. е. контрава-риантные компоненты фундаментального тензора. Положим, далее,
= (2.04)
Мы можем тогда написать выражение для обобщенного оператора Даламбера в виде
и <2-05> 236 В. А. Фок
Выполняя дифференцирование и пользуясь сокращенным обозначением
Г=- (2.06)
У — g 0^n
мы будем иметь
(2.07)
Мы будем называть координаты гармоническими, если для них IHtfv = 0. Но мы имеем вообще
? sv = - rv. (2.08)
Поэтому условие, чтобы координаты были гармоническими, сводится к требованию, чтобы было Tv = 0.
Величины Tv выражаются через тензорные параметры (скобки Кристоффеля). Положим
Г г л, і 1 / . dgvp Ogllv Ч
rp,,v [[XV, р] = т (_ + ___). (2.09)
Поднимая значок р, получаем отсюда
r?v=e{|iv, p} = gpa[[lVj(T]> (2.10)
Выражение для Tv через Гра будет иметь вид
Tv = ^Tpa. (2.11)
Кроме тензорных параметров Tpiliv и T^v, удобно бывает пользоваться тензорными параметрами с одними верхними значками, т. е. величинами
Tp^v = (2.12)
Эти величины просто выражаются непосредственно через производные от g0^. Мы имеем
Если вместо ^v рассматривать как неизвестные функции величины ^iv [формула (2.04)], то удобно преобразовать все формулы так, чтобы в них входили только производные от этих величин. Преобразуя таким путем тензорные параметры с верхними значками, мы будем иметь
rMVBnP,|iv + Ap,^ (2Л4) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ МАСС 237
где величины Пр,мд; и Ap'^v равны соответственно
Apltiv = V2 (y»gv P + yvgw - yOgn- (2.16)
В последней формуле через yv обозначена величина
yv = gvaya, (2.17)
где в свою очередь
Уа = dl%~g =1?. (2.18)
Заметим, что определитель, составленный из ^ma', равен определителю, составленному из ^piv:
Det = Det ^v = g. (2.19)
Таким образом, величины уа и yv также можно считать выраженными через ^v и их производные. Из (2.15) и (2.16) получаем
^npltiv = ГР + /, (2.20)
gilvAp^ = -уК (2.21) Сумма этих выражений дает
SlivT^v = Tp, (2.22)
как и должно быть.
3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТЕНЗОРА ЭЙНШТЕЙНА
