Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
U < с2. (5.02)
Если взять в качестве U его значение (5.01) и ввести гравитационный радиус массы т, т. е. величину
а = ут/са, (5.03)
то предыдущее неравенство будет выполняться при условии
г > а, (5.04)
т. е. на расстояниях, достаточно больших по сравнению с гравитационным радиусом. Такими могут считаться все расстояния вплоть до поверхности тела.
Значение потенциала внутри тела массы т [где формула (5.01) неприменима] будет, вообще говоря, того же порядка, как и значение его на поверхности этого тела. Так, для шара радиусом L с постоянной плотностью материи р будет, как известно,
( Чгщр (3L2 — r2) при r<L,
ЩГ) = Ь/3Я7Р^ пр *r>L, (5-05>
и поэтому
U (0) = 3/2 U (L). (5.06)
Следовательно, требование, чтобы неравенство (5.02) выполнялось во всем пространстве, включая область, занятую материей, озна-
См., например, [9], стр. 388. О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ МАСС 247
чает приблизительно то же самое, что и требование, чтобы это неравенство выполнялось на поверхности тел. Последнее означает, что
а < L, (5.07)
где L есть некоторая длина, характеризующая линейные размеры тела.
Для всех известных в астрономии небесных тел, не исключая и сверхплотных звезд, неравенство (5.07) выполняется в весьма сильной степени. Так, например, для Солнца, Земли и Луны мы имеем нижеследующую таблицу, где в качестве L взят радиус шара одинакового объема с данным телом:
Солнце Земля Луна
а ... 1,48 км 0,443 см 0,0053 см L ... 696 000 км 6370 км 1738 км
aJL ... 2-IO'6 7-Ю-10 3-Ю"11
Для сверхплотных звезд величина а — того же порядка, что и для Солнца, тогда как L хотя и меньше, чем для Солнца, но все же не более чем в сто раз.
Тот приближенный метод решения уравнений Эйнштейна, которым мы будем пользоваться, основан на разложении всех искомых функций по обратным степеням скорости света. Для законности такого разложения необходимо, чтобы относительные скорости небесных тел были малы по сравнению со скоростью света. Это условие можно ввести в качестве отдельного предположения. Оно не является, однако, независимым от уже сделанного предположения о малости гравитационного потенциала. В самом деле, согласно теореме вириала, удвоенная средняя кинетическая энергия системы тел равна, с точностью до знака, средней потенциальной их энергии (мы предполагаем, что тела притягиваются по закону Ньютона). Мы имеем
средн. 2 mavl = средн. ± ? . (5.08)
а а, Ъ
{афЬ)
Разделив это равенство на массу всех (а Ф Ь) тел (или на величину одного с ней порядка), мы получим слева некоторый средний квадрат скорости, справа некоторый средний ньютонов потенциал. Таким образом, последние величины должны быть одного порядка, и, следовательно, неравенство
у2 < с* (5.09)
вытекает из неравенства (5.02) или (5.07).
Разумеется, это заключение относится к тем случаям, к которым применима теорема вириала, т. е. к так называемым финит- 248 В. А. Фок
ным системам. Если же мы имеем, например, тело, движущееся по гиперболической орбите мимо Солнца, то для него неравенство (5.09) не вытекает из (5.02), а составляет особое предположение.
В большинстве астрономических задач расстояния между небесными телами весьма велики по сравнению с их линейными размерами, так что там выполняется неравенство
где R есть длина, характеризующая взаимное расстояние масс. Если мы примем это условие, то в соединении с (5.07) оно даст
В нашем исследовании условие (5.10) не является столь существенно необходимым, как условие (5.07). Во всяком случае, в первом (ньютоновом) приближении можно его не вводить, если предположить, что массы в достаточной мере обладают сферической симметрией; тогда ньютонов потенциал каждой из них будет и на небольших расстояниях выражаться формулой (5.01). Однако во втором и последующих приближениях рассуждения и выкладки значительно упрощаются, если пользоваться условием (5.10). Упрощение основано на том, что это условие позволяет во многих случаях не входить в рассмотрение внутренней структуры масс. Поэтому, хотя условие L R в отличие ОТ 0<СЬ и не является принципиально необходимым, мы будем им пользоваться в дальнейшем.
6. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА МАТЕРИИ
В предыдущем параграфе мы уже говорили о том, что определение тензора материи (в той области, где он отличен от нуля) может быть произведено лишь совместно с определением фундаментального тензора. Поэтому мы не можем наперед задать точных значений T^v. Однако для предварительной ориентировки достаточно знать общий характер тензора материи внутри «особенных областей» (т. е. областей, занятых материей). При этом можно воспользоваться тем, что пространство везде (также и внутри материи) почти евклидово. Так как мы будем в дальнейшем пользоваться гармоническими координатами, мало отличающимися от декартовых, то для нашей цели достаточно выписать значения тензора T^v (точнее, некоторых из его компонент) в декартовых координатах и для евклидова пространства.
Обозначим через а, Ь, ... радиус-векторы г) центров инерции
Впрочем, в дальнейшем мы будем обозначать также и векторы г, а, Ь не жирными, а простыми буквами.
