Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
г = (U), (9.04)
то уравнение (9.03) сведется к линейному уравнению
AU-TjW= 0 (9-05)
при условии, что функция / (U) в (9.04) удовлетворяет соотношению
/"(?/) =4 [/W (9.06)
Так как все наши вычисления — приближенные, то, разумеется, нет смысла точно интегрировать уравнение (9.06). Для нашей цели достаточно, чтобы соотношение (9.06) выполнялось при U = 0, а в качестве / (U) можно взять полином второй степени. Постоянный и линейный члены этого полинома получатся из условия, чтобы в первом приближении выполнялось равенство (8.01). Таким путем мы получим
/(^) = 1+4?- + ?1 (9.07) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 259
и, следовательно,
.пп I1W1 7С/2
(9.08)
где U удовлетворяет в области вне масс уравнению Даламбера с евклидовыми коэффициентами. Чтобы найти уравнение для U в области внутри масс, мы должны приравнять левую часть уравнений (9.02) или (9.03) не нулю, а величине
[в данном приближении мы можем заменить g выражением (8.10)]. Разделив обе части на величину, пропорциональную /' (U)1 мы получим для U уравнение
A U-
1 дЮ
dt2
+ J00. (9.10)
Как мы уже говорили в § 5, величина T00 может считаться известной наперед только в самом первом (ньютоновом) приближении, которого недостаточно для определения правой части (9.10) с нужной нам точностью. Поэтому уравнение (9.10) следует скорее рассматривать как уравнение для определения значения J00 внутри масс через U (см. ниже § 12). Если мы положим
(c* + ±-U) Г00 = р, (9.11)
то величина р будет, по крайней мере в первом приближении, плотностью материи. Поэтому уравнение (9.10), которое мы напишем в виде
A t/-4r4^=-4nW, (9.12)
можно толковать как обобщение уравнения Пуассона для ньютонова потенциала.
Таким образом, оказывается возможным сохранить и во втором приближении понятие ньютонова потенциала, удовлетворяющего уравнению (9.12) внутри материи и уравнению Даламбера в пустоте.
Обратимся теперь к нашей конкретной физической задаче. В первом приближении мы имели для области вне масс обычное выражение для ньютонова потенциала [формула (7.11)]
^=2,?-. (9-13)
Так как координаты масс CLi (t) есть функции времени, это выражение для U уравнению Даламбера не удовлетворяет, и нам 2 260 В. А. Фок
нужно внести к нему поправку на запаздывание. Кроме того, чтобы удовлетворить условию гармоничности (8.20), оказывается необходимым ввести в U еще одну поправку того же порядка; мы ее обозначим через U*/c2. Таким образом, во втором приближении
^S7йгТ + і-5-S^.lr-al + ^. (9.14)
a а
Величина С/*, которая удовлетворяет уравнению Лапласа (или Даламбера), будет определена одновременно с поправками к g0i из условия (8.20).
Определив величину з00 во втором приближении при помощи уравнений (9.08) и (9.05), мы уже, строго говоря, отступили от принципа разложения по обратным степеням с. Действительно, величина U1 входящая в (7.06) как коэффициент при Alc31 теперь сама содержит у нас с. Поэтому в формуле (7.06) мы и в третьем члене должны будем разуметь под S разные величины, смотря по тому, что мы разумеем под U: первоначальное ли выражение (9.13) или исправленное выражение (9.14), Во втором случае мы будем иметь просто
S =4 С/* (9.15)
В первом же случае к этому выражению нужно прибавить еще два члена, соответствующие двум поправкам в формуле (9.14) для U.
10. ВТОРОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОМПОНЕНТ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ МАСС
В первом приближении величины $lk имели евклидовы значения (8.03). Второе приближение для них может быть получено из уравнений, которые составляются следующим образом: правая часть (8.19) приравнивается выражению
(множитель g мы вправе заменить здесь на —с2). Получаемые уравнения имеют вид
+ (.0.02)
Членом со второй производной по времени здесь нужно пренебречь; в самом деле, согласно (7.08), мы имеем
- (10.03) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 261
и, следовательно, этот член будет шестого порядка, т. е. того же порядка, что и те члены, которые уже отброшены. Подставив (10.03) в (10.02), мы получим, после умножения на V2c4 и переноса некоторых членов в правую часть, следующее уравнение для Sik:
A Sih = - Anye2Tik +1- 6ife (grad Uf- -Ц М.. (10.04)
Кроме уравнения (10.04), величины Sik должны удовлетворять также условиям гармоничности, которые вследствие (8.21), (8.02) и (10.03) в данном приближении имеют вид
ir+Sf=о. (10-05)
где, согласно (7.12),
Syma *
IT^Tа*' (10.06)
а
по крайней мере вне масс.
В уравнение (10.04) входит неизвестная величина Tlh1 относительно которой мы знаем только то, что вне масс она равна нулю, а внутри масс характер ее определяется выражением (6.09). Чтобы освободиться от этой величины, мы положим
Sik = U^Vih (10.07)
и подчиним Uth уравнению
ACZift= -Anyc2Tik, (10.08)
аналогичному уравнениям (7.09) и (7.10) для [/ и [Zi. Тогда величины Vik должны будут удовлетворять уравнениям
AFllk = ^enk (grad (10.09)
В правой части этих уравнений мы будем разуметь под U обыкновенный ньютонов потенциал, удовлетворяющий уравнению Пуассона (7.09). Вне масс потенциал U будет равен
