Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 90

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 205 >> Следующая


г = (U), (9.04)

то уравнение (9.03) сведется к линейному уравнению

AU-TjW= 0 (9-05)

при условии, что функция / (U) в (9.04) удовлетворяет соотношению

/"(?/) =4 [/W (9.06)

Так как все наши вычисления — приближенные, то, разумеется, нет смысла точно интегрировать уравнение (9.06). Для нашей цели достаточно, чтобы соотношение (9.06) выполнялось при U = 0, а в качестве / (U) можно взять полином второй степени. Постоянный и линейный члены этого полинома получатся из условия, чтобы в первом приближении выполнялось равенство (8.01). Таким путем мы получим

/(^) = 1+4?- + ?1 (9.07) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 259

и, следовательно,

.пп I1W1 7С/2

(9.08)

где U удовлетворяет в области вне масс уравнению Даламбера с евклидовыми коэффициентами. Чтобы найти уравнение для U в области внутри масс, мы должны приравнять левую часть уравнений (9.02) или (9.03) не нулю, а величине

[в данном приближении мы можем заменить g выражением (8.10)]. Разделив обе части на величину, пропорциональную /' (U)1 мы получим для U уравнение

A U-

1 дЮ

dt2

+ J00. (9.10)

Как мы уже говорили в § 5, величина T00 может считаться известной наперед только в самом первом (ньютоновом) приближении, которого недостаточно для определения правой части (9.10) с нужной нам точностью. Поэтому уравнение (9.10) следует скорее рассматривать как уравнение для определения значения J00 внутри масс через U (см. ниже § 12). Если мы положим

(c* + ±-U) Г00 = р, (9.11)

то величина р будет, по крайней мере в первом приближении, плотностью материи. Поэтому уравнение (9.10), которое мы напишем в виде

A t/-4r4^=-4nW, (9.12)

можно толковать как обобщение уравнения Пуассона для ньютонова потенциала.

Таким образом, оказывается возможным сохранить и во втором приближении понятие ньютонова потенциала, удовлетворяющего уравнению (9.12) внутри материи и уравнению Даламбера в пустоте.

Обратимся теперь к нашей конкретной физической задаче. В первом приближении мы имели для области вне масс обычное выражение для ньютонова потенциала [формула (7.11)]

^=2,?-. (9-13)

Так как координаты масс CLi (t) есть функции времени, это выражение для U уравнению Даламбера не удовлетворяет, и нам 2 260 В. А. Фок

нужно внести к нему поправку на запаздывание. Кроме того, чтобы удовлетворить условию гармоничности (8.20), оказывается необходимым ввести в U еще одну поправку того же порядка; мы ее обозначим через U*/c2. Таким образом, во втором приближении

^S7йгТ + і-5-S^.lr-al + ^. (9.14)

a а

Величина С/*, которая удовлетворяет уравнению Лапласа (или Даламбера), будет определена одновременно с поправками к g0i из условия (8.20).

Определив величину з00 во втором приближении при помощи уравнений (9.08) и (9.05), мы уже, строго говоря, отступили от принципа разложения по обратным степеням с. Действительно, величина U1 входящая в (7.06) как коэффициент при Alc31 теперь сама содержит у нас с. Поэтому в формуле (7.06) мы и в третьем члене должны будем разуметь под S разные величины, смотря по тому, что мы разумеем под U: первоначальное ли выражение (9.13) или исправленное выражение (9.14), Во втором случае мы будем иметь просто

S =4 С/* (9.15)

В первом же случае к этому выражению нужно прибавить еще два члена, соответствующие двум поправкам в формуле (9.14) для U.

10. ВТОРОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОМПОНЕНТ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ МАСС

В первом приближении величины $lk имели евклидовы значения (8.03). Второе приближение для них может быть получено из уравнений, которые составляются следующим образом: правая часть (8.19) приравнивается выражению

(множитель g мы вправе заменить здесь на —с2). Получаемые уравнения имеют вид

+ (.0.02)

Членом со второй производной по времени здесь нужно пренебречь; в самом деле, согласно (7.08), мы имеем

- (10.03) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 261

и, следовательно, этот член будет шестого порядка, т. е. того же порядка, что и те члены, которые уже отброшены. Подставив (10.03) в (10.02), мы получим, после умножения на V2c4 и переноса некоторых членов в правую часть, следующее уравнение для Sik:

A Sih = - Anye2Tik +1- 6ife (grad Uf- -Ц М.. (10.04)

Кроме уравнения (10.04), величины Sik должны удовлетворять также условиям гармоничности, которые вследствие (8.21), (8.02) и (10.03) в данном приближении имеют вид

ir+Sf=о. (10-05)

где, согласно (7.12),

Syma *

IT^Tа*' (10.06)

а

по крайней мере вне масс.

В уравнение (10.04) входит неизвестная величина Tlh1 относительно которой мы знаем только то, что вне масс она равна нулю, а внутри масс характер ее определяется выражением (6.09). Чтобы освободиться от этой величины, мы положим

Sik = U^Vih (10.07)

и подчиним Uth уравнению

ACZift= -Anyc2Tik, (10.08)

аналогичному уравнениям (7.09) и (7.10) для [/ и [Zi. Тогда величины Vik должны будут удовлетворять уравнениям

AFllk = ^enk (grad (10.09)

В правой части этих уравнений мы будем разуметь под U обыкновенный ньютонов потенциал, удовлетворяющий уравнению Пуассона (7.09). Вне масс потенциал U будет равен
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed