Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 83

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 205 >> Следующая


Перейдем теперь к преобразованию сокращенного тензора кривизны JRjliv и связанного с ним тензора Эйнштейна Rllv — — iU SiivR- Преобразование будет иметь целью выделить в этих тензорах те члены, которые содержат величины Tv и их производные, и упростить таким путем остальные члены. В гармонической координатной системе выделенные члены обратятся в нуль.

По определению сокращенного тензора кривизны х) мы имеем

^liv ^ ТзГ ~~ ~дэГ~ ^v -П^Гам, — Taprjiv (3.01)

*) См., например, [5], стр. 147. 238 В. А. Фок

Преобразуем сперва второй член в этом выражении. Для выполнения преобразования удобно написать сначала тензорный параметр

TJJv в виде

га 1 „ 1 „ df* 1 a? ^nv поч

Нам нужно составить сумму производных от T^v по ха. Но из (3.02) видно, что в эту сумму вторые производные от компонент фундаментального тензора войдут только в следующих комбинациях: а) вторые производные от одной и той же компоненты ^plv, сгруппированные так же, как в операторе Даламбера; б) производные от величины dg?$ldxa. Но, в силу определений (2.06) и (2.17) величин Tv и г/47, мы имеем

(3 03)

дха

Поэтому, кроме оператора Даламбера от ^v, вторые производные войдут только через посредство первых производных OT ГР и вторых производных OT In Y—g. Эти последние мы обозначим через у^РМ^ЪЪ. (3<04)

OxliOxyp dxv dxvl 4 '

Действительно, выполняя выкладки, мы получаем

^v _ 1 a? ^V ¦ г , -UTa-- 2 ^ дха дхъ + 1^ + УHV уal ^v

1 dSftI dga? __ 1 ^Pv dga&

2 дха dxv 2 дха дх^

Здесь через IVv обозначено для краткости выражение

дТа , дТа , dSv V

(3.05)

г,

UV -

If дГ" , дГ" . og\i» га\ /Q n?4

которое обращается в нуль в той координатной системе, где Fa = = 0. Если ввести обозначение

rv-?vara, (3.07)

то величину Tliv можно также написать в виде

Подставив выражение (3.05) в сокращенный тензор кривизны (3.01), мы убедимся, что вследствие равенства

^/|Ltv — ^/a^v = Qx Гац — ra?rpv (3.09) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ МАСС 239

производные ОТ In У —g сократятся и мы получим

_ 1 a? ^?

R — — ^ap ~ 0^v —Г -4-- 2 g дха 1 ^v

(<3.10)

В этой формуле вторые производные входят только в первую строчку. Выражение во второй строчке можно преобразовать; в результате получится

где Г ^ja р — обычные скобки Кристоффеля [формула (2.09)]. Для гармонических координат в этом выражении нужно опустить член Tixv. Тогда оно приведется к выражению де Дондера [6] и Ланцоша [7], которые впервые обратили внимание на упрощения, достигаемые при пользовании гармоническими координатами.

От ковариантных компонент сокращенного тензора кривизны можно перейти к контравариантным. При этом получается простое выражение

^v= -V5 + (3.12)

где Ttxv есть величина, получаемая из Tviv поднятием значков по обычному правилу (это приходится объяснять потому, что Tllv не есть тензор). Величину Tilv можно написать в виде



=т (Г^+Г^-^г). (з,з)

Составим теперь инвариант тензора кривизны. Вторые производные в него войдут через посредство оператора Даламбера от In У —g и через посредство величин Tvlv. Действительно, используя соотношение

г TPV.a? , 1 ^V dg^ _ 1 rv Oga^ п ш

Iv.a?l +у S ^7-^---21^-^' <d'14>

мы получим после преобразований

(3.15)

Здесь г/аР имеет значение (3.04), а Г есть величина

T = ^ruv, (3.16)

которую можно написать в виде 240 В. А. Фок

г OTa ра 1 d2Qa? ,7v

т==~д^+у«т = - (зл?)

Если положить в наших выражениях для и R [формулы (3.12) и (3.15)]

]>v = 0 и Г = 0,

то они перейдут в выражения Ланцоша [7].

Полученные формулы позволяют нам составить тензор Эйнштейна, пропорциональный тензору материи. Мы имеем

+^aC+т^^-т^^С- <ЗЛ8>

Как и в предыдущих выражениях (3.11), (3.12) и (3.15), вторые производные входят сюда (если не считать членов, содержащих ]>v и Г) только в виде оператора Даламбера от одной величины, а именно от ^v.

Мы преобразуем выражение (3.18) так, чтобы в него входили под знаком дифференцирования только величины ^lv. Для этого преобразуем сперва сумму

Г Ii -pv,a? a?-L »

выразив в ней, согласно (2.14), тензорные параметры Г через П и А.

Пользуясь формулами (2.20) и (2.21), мы получим

rv,a?r??=IT-0^f5 - ^7L= </« - T ^v+т PW -

-l(lV + rV). (3-19)

Имея в виду, что

мы можем переписать предыдущую формулу в виде

г-арг&+^^+4 ^w=

2

= nv'a?na?-4^-|(rV + rV). (3.21) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ МАСС 241

Это дает нам первые три члена во второй строчке в правой части формулы (3.18). Чтобы преобразовать четвертый член, вычисляем выражения

ASe^T=1-Jfcr* • (3-22)

1f—g v ^p

сумма которых дает

т. е. выражение в последнем члене (3.18). Подставив в (3.18) равенства (3.21) и (3.24), получим искомое выражение для тензора Эйнштейна. Чтобы записать его более кратко, обозначим буквой L величину

ГГР. d^ « 1

2"

L—r^1??"+^ (3-25)

и введем вместо ]>v величины

pliv + ^ (rV + rV), (3.26)

для которых

S = ^v=т+Уата. (3.27)

С этими обозначениями наше выражение для тензора Эйнштейна примет вид

R^ - і = -Jy^7 + Hv- a?n& -
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed