Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем теперь к преобразованию сокращенного тензора кривизны JRjliv и связанного с ним тензора Эйнштейна Rllv — — iU SiivR- Преобразование будет иметь целью выделить в этих тензорах те члены, которые содержат величины Tv и их производные, и упростить таким путем остальные члены. В гармонической координатной системе выделенные члены обратятся в нуль.
По определению сокращенного тензора кривизны х) мы имеем
^liv ^ ТзГ ~~ ~дэГ~ ^v -П^Гам, — Taprjiv (3.01)
*) См., например, [5], стр. 147. 238 В. А. Фок
Преобразуем сперва второй член в этом выражении. Для выполнения преобразования удобно написать сначала тензорный параметр
TJJv в виде
га 1 „ 1 „ df* 1 a? ^nv поч
Нам нужно составить сумму производных от T^v по ха. Но из (3.02) видно, что в эту сумму вторые производные от компонент фундаментального тензора войдут только в следующих комбинациях: а) вторые производные от одной и той же компоненты ^plv, сгруппированные так же, как в операторе Даламбера; б) производные от величины dg?$ldxa. Но, в силу определений (2.06) и (2.17) величин Tv и г/47, мы имеем
(3 03)
дха
Поэтому, кроме оператора Даламбера от ^v, вторые производные войдут только через посредство первых производных OT ГР и вторых производных OT In Y—g. Эти последние мы обозначим через у^РМ^ЪЪ. (3<04)
OxliOxyp dxv dxvl 4 '
Действительно, выполняя выкладки, мы получаем
^v _ 1 a? ^V ¦ г , -UTa-- 2 ^ дха дхъ + 1^ + УHV уal ^v
1 dSftI dga? __ 1 ^Pv dga&
2 дха dxv 2 дха дх^
Здесь через IVv обозначено для краткости выражение
дТа , дТа , dSv V
(3.05)
г,
UV -
If дГ" , дГ" . og\i» га\ /Q n?4
которое обращается в нуль в той координатной системе, где Fa = = 0. Если ввести обозначение
rv-?vara, (3.07)
то величину Tliv можно также написать в виде
Подставив выражение (3.05) в сокращенный тензор кривизны (3.01), мы убедимся, что вследствие равенства
^/|Ltv — ^/a^v = Qx Гац — ra?rpv (3.09) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ МАСС 239
производные ОТ In У —g сократятся и мы получим
_ 1 a? ^?
R — — ^ap ~ 0^v —Г -4-- 2 g дха 1 ^v
(<3.10)
В этой формуле вторые производные входят только в первую строчку. Выражение во второй строчке можно преобразовать; в результате получится
где Г ^ja р — обычные скобки Кристоффеля [формула (2.09)]. Для гармонических координат в этом выражении нужно опустить член Tixv. Тогда оно приведется к выражению де Дондера [6] и Ланцоша [7], которые впервые обратили внимание на упрощения, достигаемые при пользовании гармоническими координатами.
От ковариантных компонент сокращенного тензора кривизны можно перейти к контравариантным. При этом получается простое выражение
^v= -V5 + (3.12)
где Ttxv есть величина, получаемая из Tviv поднятием значков по обычному правилу (это приходится объяснять потому, что Tllv не есть тензор). Величину Tilv можно написать в виде
=т (Г^+Г^-^г). (з,з)
Составим теперь инвариант тензора кривизны. Вторые производные в него войдут через посредство оператора Даламбера от In У —g и через посредство величин Tvlv. Действительно, используя соотношение
г TPV.a? , 1 ^V dg^ _ 1 rv Oga^ п ш
Iv.a?l +у S ^7-^---21^-^' <d'14>
мы получим после преобразований
(3.15)
Здесь г/аР имеет значение (3.04), а Г есть величина
T = ^ruv, (3.16)
которую можно написать в виде 240 В. А. Фок
г OTa ра 1 d2Qa? ,7v
т==~д^+у«т = - (зл?)
Если положить в наших выражениях для и R [формулы (3.12) и (3.15)]
]>v = 0 и Г = 0,
то они перейдут в выражения Ланцоша [7].
Полученные формулы позволяют нам составить тензор Эйнштейна, пропорциональный тензору материи. Мы имеем
+^aC+т^^-т^^С- <ЗЛ8>
Как и в предыдущих выражениях (3.11), (3.12) и (3.15), вторые производные входят сюда (если не считать членов, содержащих ]>v и Г) только в виде оператора Даламбера от одной величины, а именно от ^v.
Мы преобразуем выражение (3.18) так, чтобы в него входили под знаком дифференцирования только величины ^lv. Для этого преобразуем сперва сумму
Г Ii -pv,a? a?-L »
выразив в ней, согласно (2.14), тензорные параметры Г через П и А.
Пользуясь формулами (2.20) и (2.21), мы получим
rv,a?r??=IT-0^f5 - ^7L= </« - T ^v+т PW -
-l(lV + rV). (3-19)
Имея в виду, что
мы можем переписать предыдущую формулу в виде
г-арг&+^^+4 ^w=
2
= nv'a?na?-4^-|(rV + rV). (3.21) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ МАСС 241
Это дает нам первые три члена во второй строчке в правой части формулы (3.18). Чтобы преобразовать четвертый член, вычисляем выражения
ASe^T=1-Jfcr* • (3-22)
1f—g v ^p
сумма которых дает
т. е. выражение в последнем члене (3.18). Подставив в (3.18) равенства (3.21) и (3.24), получим искомое выражение для тензора Эйнштейна. Чтобы записать его более кратко, обозначим буквой L величину
ГГР. d^ « 1
2"
L—r^1??"+^ (3-25)
и введем вместо ]>v величины
pliv + ^ (rV + rV), (3.26)
для которых
S = ^v=т+Уата. (3.27)
С этими обозначениями наше выражение для тензора Эйнштейна примет вид
R^ - і = -Jy^7 + Hv- a?n& -
