Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
-j y»yv+т ^vl-^v+у Ziivb- (3-28>
Этим выражением мы и будем пользоваться при решении нашей задачи.
В заключение заметим, что определяемая формулой (3.25) величина L есть так называемая лагранжева функция, которая обычно х) пишется в виде
(3.29)
*) См., например, [5], стр. 244 и сл.
16-0919 242 В. А. Фок
4. ВЫБОР НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИСКОМЫХ ФУНКЦИЙ
Уравнения Эйнштейна для пустого пространства получатся, если приравнять тензор Эйнштейна нулю. Уравнения же для пространства, заполненного материей, имеют вид
-Xflivf (4.01)
где T^v есть тензор материи. Эйнштейновская постоянная тяготения к связана с ньютоновской постоянной у соотношением
X = ^7, (4.02)
причем величина у равна
у = 6,66.IO-7CM3-T-1.с-2.
Прежде чем переходить к решению уравнений Эйнштейна, нам надлежит сделать определенный выбор независимых переменных (координат) и искомых функций.
Выписанные нами в предыдущем параграфе выражения для сокращенного тензора кривизны делают очевидным то огромное преимущество, которое имеет гармоническая система координат перед всеми другими. Действительно, в гармонической системе координат в каждое из десяти уравнений тяготения входят (как мы уже неоднократно отмечали) вторые производные только от одной компоненты фундаментального тензора, причем эти вторые производные группируются в виде оператора Даламбера. Как уже было указано другими авторами *), отсюда непосредственно и вполне строго следует также существование волн тяготения, распространяющихся со скоростью света.
При помощи гармонической системы координат в уравнениях тяготения достигается «разделение переменных» в отношении высших (т. е. вторых) производных. Оно представляет аналогию с тем, которое достигается в задачах электродинамики путем введения декартовых компонент векторного потенциала. В декартовых координатах известные уравнения для потенциалов имеют вид
^-V-W= -4*-Г' (4-04)
дАі • 1 o(f -U. (4.05)
дхі„ с dt'
Таким образом, каждое из уравнений (4.04) содержит только одну компоненту потенциала^ Но если перейти от декартовых
См., например, обзор Дармуа [8]* О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ МАСС 243
к произвольным криволинейным координатам, то каждое из уравнений, связывающее потенциалы с током, будет уже содержать, вообще говоря, не одну, а несколько криволинейных компонент векторного потенциала.
Разделение переменных в уравнениях (4.04) можно, следовательно, рассматривать как одно из свойств декартовой координатной системы. Подобно этому, разделение переменных (вторых производных) в уравнениях (4.01) можно рассматривать как одно из свойств гармонической координатной системы.
Заметим, что в декартовой системе координат уравнения электродинамики, написанные в виде (4.04), содержат оператор Даламбера от компонент вектора, т. е. величину нековариантную. Подобно этому, в гармонической координатной системе, в которой ]>v = B^ = 0, сокращенный тензор кривизны, который входит в уравнение тяготения (4.01), будет содержать оператор Даламбера от компонент тензора, т. е. тоже нековариантную величину. Тем не менее те и другие уравнения удобно писать именно в таком виде.
В задачах общей теории относительности, где допустимы произвольные (в широких пределах) преобразования координат, наглядное толкование координатных параметров иногда оказывается затруднительным. Эти трудности значительно смягчаются при пользовании гармонической координатной системой. Гармонические координаты — это те, которые ближе всего подходят по своим свойствам к обычным прямоугольным прямолинейным координатам и к обычному времени в «мире» Минковского. Поэтому выраженные через них формулы общей теории относительности отличаются наибольшей наглядностью.
Сделаем здесь замечание по поводу другой координатной системы, которая характеризуется требованиями ^0 = 0 (і — 1, 2, 3). Сверх того, можно было бы потребовать, чтобы координата х0 была! гармонической; тогда оставалось бы еще произвольным любое преобразование между хг, х2, xs, не содержащее х0. Эта система координат могла бы на первый взгляд показаться более естественной, так как в ней пространство «отделено» от времени; в ней; можно было бы пользоваться формулами трехмерного тензорного^ анализа, ковариантными относительно указанных преобразований. Однако вследствие отсутствия разделения переменных! (отделяется только ^00) эта система координат далеко не столь удобна, как та, в которой все координаты (а не только х0) являются гармоническими. Поэтому мы будем пользоваться исключительна этой последней.
После того кад мы выбрали определенным образом независимые переменные (а именно гармонические координаты), мы должны сделать также определенный выбор искомых функций. В качестве их могли бы служить ковариантные (^rpiv) или контравариантныё
16* 244 В. А. Фок
(g^iv) компоненты фундаментального тензора либо сами, либо умноженные на J/ — g. Из перечисленных возможностей наиболее удобной для наших целей является последняя: мы возьмем в качестве искомых функций величины
^v = Vz^g ^v. (4.06)
