Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
П0' ^1? = 4- W __8. _ Wt V W (8 08)
Cb dt дХі с6 V dxs дХі / dxs ' v '
В формуле (8.07), как и в дальнейшем, символ grad U означает обыкновенный трехмерный евклидов градиент, так что (grad U)2 есть просто сумма квадратов величин dUldXi.
Определитель g будет в нашем приближении равен -C3^00r так что
-g = с2 + AU (8.10)
и, следовательно,
У а =
dig V-g = 2 дЦ (8Л1у
,0.1^. (8.12) У C4 dt ' у C2 дХі • V0-W
Нам остается вычислить входящую в выражение (7.02) величину L (лагранжеву функцию), определяемую формулой (3.25). В силу предыдущих формул, мы имеем
^11^==-4-(gradU)\ (8.13)
УаУ«=—^r (grade/)2, (8.14)
откуда
(gradtf)2. (8.15) 2 256 В. А. Фок
Здесь проверкой служит то, что вариация интеграла от L дает для TJ в первом приближении уравнение Лапласа, как это и должно быть.
Все входящие в тензор Эйнштейна члены с первыми производными нами вычислены.
Что касается членов со вторыми производными (обобщенного оператора Даламбера), то, используя выражения (7.06) — (7.08) для ^v, мы будем иметь
В выражение (7.02) для тензора Эйнштейна входит величина (8.16), деленная на 2g, причем ср есть соответствующая компонента ^v. Отсюда следует, что величиной во второй строчке формулы (8.16) можно пренебречь по сравнению с евклидовым оператором Даламбера не только в первом, но и во втором приближении. В самом деле, если ср есть одна из функций ^v, то производные от нее будут третьего порядка, а деленная на 2g вторая строчка в (8.16) будет восьмого порядка. Следовательно, восьмого порядка будут и те члены в тензоре Эйнштейна, которые отбрасываются при замене обобщенного оператора Даламбера обыкновенным. Такая замена допустима, следовательно, не только в первом, но и во втором приближении (а для пространственных компонент даже и в третьем).
Чтобы избежать деления оператора Даламбера на определитель g, мы выпишем ниже выражения не для самого тензора Эйнштейна, а для этого тензора, умноженного на близкую к единице величину (—gl с2).
Для компоненты со значками (00) мы будем иметь
(-*/**) ( I s°°R) «4 дг-4 ^rad ^)2+0 4)'
(8.17)
если только величины Г00 и Л00 — не менее восьмого порядка, что, как мы видели, имеет место уже в первом приближении.
Компоненты со значками (Oi) равны
(- */*») (Я- - 4- Д) = ± Af - 4 +
(8.18)
с6 dt дхі с6 V dxs дХі ) dxs 1 V с8 / 4 О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 257
Наконец, пространственные компоненты имеют вид
(8-19)
Невыписанные члены будут указанного здесь порядка [т. е. восьмого в (8.17) и (8.18) и шестого в (8.19)], если такого же порядка будут соответствующие величины I>v или B^. Для этого достаточно выполнения условий гармоничности с такой точностью, чтобы было
г°
Ti
Последние равенства могут быть выполнены путем надлежащего выбора второго приближения для $гк и
Выписанные выше выражения (8.17) — (8.19) для тензора Эйнштейна позволяют также проверить законность тех пренебрежений, которые были сделаны в первом приближении. В самом деле, из этих выражений следует, что в компонентах со значками (00) и (Oi) члены, квадратичные в первых производных, будут более высокого (а именно шестого) порядка малости, чем члены, происходящие от тензора материи (последние будут четвертого порядка). Поэтому мы вправе были пользоваться для определения поправок к евклидовым значениям ^00 и $0г линейными уравнениями (7.03) и (7.04). Значит, и сами эти поправки и вытекающие из них приближенные значения тензорных параметров (8.05) и (8.06) определены были верно. В уравнениях же (7.01) для пространственных компонент члены, квадратичные в производных, будут того же (а именно четвертого) порядка, что и правая часть. Поэтому их нужно было бы принимать во внимание одновременно и уравнения для аналогичного уравнениям (7.03) и (7.04), для з00 и зог написать нельзя.
9. ВТОРОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЛЯ НУЛЕВОЙ КОМПОНЕНТЫ. ОБОБЩЕННЫЙ НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
Чтобы получить уравнения Для определения функций ^xv во втором приближении, достаточно подставить в уравнения тяготения выведенные в предыдущем параграфе приближенные выражения для тензора Эйнштейна. К этим уравнениям нужно присоединить условия гармоничности (8.20) и (8.21).
17-0919
і /да00
y—g \ dt '
1_ / д0іо
~Л
V
dt
-СНШ-
(8.20) (8.21) 2 258 В. А. Фок
Мы начнем определение второго приближения с функции З00. При этом мы сперва рассмотрим область вне масс, а затем введем тензор материи. Для области вне масс уравнение для д00 получится, если приравнять нулю выражение (8.17). Но из первого приближения (8.01) мы знаем, что
grad з00 = ~ grad U. (9.01)
Выразив по этой формуле grad U через grad д00 и подставив в (8.17), мы получим выражение, содержащее только одну неизвестную функцию з00. Приравняв это выражение нулю, будем иметь
І AS00-^T :T-W (grad З00)2 = (9.02)
Это уравнение в требуемом приближении можно свести к линейному. В самом деле, с той же степенью точности мы можем вместо (9.02) написать
так как добавка последнего члена влияет только на члены восьмого порядка, которые в (8.17) отбрасываются. Если мы теперь положим
