Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 91

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 205 >> Следующая


(10.10)

а

внутри же масс он будет некоторой непрерывной функцией от координат с непрерывными первыми производными. Таким образом, правые части уравнений (10.09), т. е. величины

(10.11) 2 262 В. А. Фок

будут некоторыми непрерывными функциями координат. Если мы подчиним решения уравнений

Ayift = Cift (10.12)

[т. е. уравнений (10.09)] условиям быть всюду конечными и обращаться на бесконечности в нуль, то функции Vih будут тем самым определены вполне однозначно.

Рассмотрим выражение для величины Qih вне масс. Подставив в (10.11) ньютонов потенциал (10.10), мы получим однородную квадратичную функцию от масс, которую можно написать в виде

Qik = S y2mlQT} + S yzmambQT, (10.13)

а афЬ

где

г\{аа)_ 1 (хі~аі) (xk — ak) (\С\\/Л

^ik ~2~ I г — a I4 Г^? ' IlU. 14J

(10.15)

ПШЪ) _ JL (xJ-aJ) (xJ-bJ) S

Vik - 2 |г__а|3|г__ь|з —

__1 (Xi — at) (xh ^-bh) + (xi — bi) (xk — ak)

2 I г — a Is I г — o I3

Сообразно разложению (10.13), мы можем искомое решение Vih уравнения (10.12) писать в виде

Vtx = S У2т1 VT + S y2mambV\akb\ (ю.16)

а афЪ 4 7

где отдельные члены удовлетворяют соответствующим уравнениям

A Vir = QT, (10.17)

A VT = Qltb' (10.18)

Вне масс правые части этих уравнений имеют вид (10.14) и (10.15). Но внутри масс значения их будут определяться другими формулами. Поэтому, строго говоря, нужно различать даже в области, свободной от материи, между истинными VT и решениями тех уравнений, правые части которых имеют вид (10.14) и (10.15) во всем пространстве, включая область, фактически занятую массами.

Для уравнения (10.18) различие это не будет, однако, существенным, по крайней мере в том случае, когда линейные размеры масс малы по сравнению с их взаимными расстояниями. Поэтому мы будем разуметь под величиной QT в правой части (10.18) выражение (10.15). Это выражение имеет в точках г = а и г = Ъ особенности не выше дипольного характера. Вследствие этого уравнение (10.18) будет иметь решение, которое остается конечным во всем пространстве, включая точки г = с и г = 6, и обращается на бесконечности в нуль. О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 263

Это решение может быть найдено в конечном виде. Для этого напишем выражение (10.15) в виде производных по параметрам bj от функции i/\ г — а \ \ г — Ъ |. Мы будем иметь

= QaiQbh ~ dakdbi ) \г — а\ \г — Ъ\ж ^10'19)

Поэтому уравнение (10.18) сводится к более простому уравнению

A^|r-a|V-M- (10-20)

Действительно, если ф есть решение (10.20), то величина

V(ab)_ 1 /с д\ д2ср д2(р \ МП 91 ^

Vih - 2 \Oih —-Щ- dakdb. ) {W.ZL)

будет решением уравнения (10.18).

Но решение уравнения (10.20) легко написать. Обозначим через S периметр треугольника с вершинами в точках г, а, Ъ:

8=\г —а\+\г — Ъ\ +\ а — Ъ\. (10.22)

Тогда функция

<р = Ig S = In (I г — я | + |г — b \ \ а — Ь |) (10.23) будет удовлетворять уравнению (10.20), ибо, как легко проверить,

А In 5 = п-і-T-J-. (10.24)

I г—а I I г — b I ' v '

Таким образом, искомое решение уравнения (10.18) имеет вид

V{ab)__ 1 (с д2 Ins д2 Ins d*lns \ мл 9cv

-T\oih IZJmT— dah dbi ) •

Обратимся теперь к уравнению (10.17). Частное решение его легко написать. Мы имеем

= ± {Xi~art%~ah) ¦ (10.26)

Однако нам нужно не произвольное частное решение, а то, которое вне масс совпадает с истинным (т. е. всюду конечным) решением. Чтобы найти это последнее, нам нужно иметь такое выражение для Qiha\ которое было бы справедливо и внутри масс. Положим для краткости

vih = y*mlvW> (10.27)

и перенесем начало координат в точку а. Тогда функция Vih должна будет удовлетворять уравнению

A,ift = i|4gradu)*--^-J^ (10.28) 2 264 В. А. Фок

ГДЄ

U = U (г) (10.29)

есть потенциал, происходящий от массы та. Решения уравнения (10.28) можно искать в виде

Vik ¦

= XiXk~^ikr2 p(r)-6ikq(r). (10.30)

Тогда р (г) и q (г) должны удовлетворять уравнениям

-Sl-T-I-= -Л' W2' (10-31)

(10-32)

откуда, имея в виду граничные условия для Vikl получаем

Г OO

р(г) =4" I rV W2 ^+T- J jiT^ (10-33)

О г

OO г

9 (г) = i- J то' (г)2 dr +JL J rV (г)2 dr. (10.34)

г О

Если радиус тела равен L1 то при г > L

U (Г) = (10.35)

и выражения для р (г) и q (г) приведутся к следующим:

P (г)= V472m2r — 1/&у2тгХ, (10.36)

+ (10.37) где через е и % обозначены постоянные:

OO

8=W і(grad u)2dx=~k\r4'(г)2 dr' (10-38)

о

L

b = (10.39)

О

Величина е есть взятая с обратным знаком взаимная потенциальная энергия частиц, составляющих тело; величина % есть некоторая длина порядка L (при постоянной плотности % = 6/7L). О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 265

Подставив найденные значения для р (г) и q (г) в формулу (10.30), получим

V«-™ , . „ -H--- .. ,« ((040>

Vik =-4^--X У m4t *---T ih Tr ' (10-40)

Если мы заменим здесь Xi на Xi — a t и снабдим значком а величины иг, е, Я, то по разделении на у2т2а мы получим вследствие (10.27) следующее окончательное выражение для У1?а):

T7(Ofl) _ 1 (xi — ai)(xk — ak) К Г — flj) (Xk — flfc)

2A 4 I г — а 5 L I г —а I5
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed