Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
(10.10)
а
внутри же масс он будет некоторой непрерывной функцией от координат с непрерывными первыми производными. Таким образом, правые части уравнений (10.09), т. е. величины
(10.11) 2 262 В. А. Фок
будут некоторыми непрерывными функциями координат. Если мы подчиним решения уравнений
Ayift = Cift (10.12)
[т. е. уравнений (10.09)] условиям быть всюду конечными и обращаться на бесконечности в нуль, то функции Vih будут тем самым определены вполне однозначно.
Рассмотрим выражение для величины Qih вне масс. Подставив в (10.11) ньютонов потенциал (10.10), мы получим однородную квадратичную функцию от масс, которую можно написать в виде
Qik = S y2mlQT} + S yzmambQT, (10.13)
а афЬ
где
г\{аа)_ 1 (хі~аі) (xk — ak) (\С\\/Л
^ik ~2~ I г — a I4 Г^? ' IlU. 14J
(10.15)
ПШЪ) _ JL (xJ-aJ) (xJ-bJ) S
Vik - 2 |г__а|3|г__ь|з —
__1 (Xi — at) (xh ^-bh) + (xi — bi) (xk — ak)
2 I г — a Is I г — o I3
Сообразно разложению (10.13), мы можем искомое решение Vih уравнения (10.12) писать в виде
Vtx = S У2т1 VT + S y2mambV\akb\ (ю.16)
а афЪ 4 7
где отдельные члены удовлетворяют соответствующим уравнениям
A Vir = QT, (10.17)
A VT = Qltb' (10.18)
Вне масс правые части этих уравнений имеют вид (10.14) и (10.15). Но внутри масс значения их будут определяться другими формулами. Поэтому, строго говоря, нужно различать даже в области, свободной от материи, между истинными VT и решениями тех уравнений, правые части которых имеют вид (10.14) и (10.15) во всем пространстве, включая область, фактически занятую массами.
Для уравнения (10.18) различие это не будет, однако, существенным, по крайней мере в том случае, когда линейные размеры масс малы по сравнению с их взаимными расстояниями. Поэтому мы будем разуметь под величиной QT в правой части (10.18) выражение (10.15). Это выражение имеет в точках г = а и г = Ъ особенности не выше дипольного характера. Вследствие этого уравнение (10.18) будет иметь решение, которое остается конечным во всем пространстве, включая точки г = с и г = 6, и обращается на бесконечности в нуль. О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 263
Это решение может быть найдено в конечном виде. Для этого напишем выражение (10.15) в виде производных по параметрам bj от функции i/\ г — а \ \ г — Ъ |. Мы будем иметь
= QaiQbh ~ dakdbi ) \г — а\ \г — Ъ\ж ^10'19)
Поэтому уравнение (10.18) сводится к более простому уравнению
A^|r-a|V-M- (10-20)
Действительно, если ф есть решение (10.20), то величина
V(ab)_ 1 /с д\ д2ср д2(р \ МП 91 ^
Vih - 2 \Oih —-Щ- dakdb. ) {W.ZL)
будет решением уравнения (10.18).
Но решение уравнения (10.20) легко написать. Обозначим через S периметр треугольника с вершинами в точках г, а, Ъ:
8=\г —а\+\г — Ъ\ +\ а — Ъ\. (10.22)
Тогда функция
<р = Ig S = In (I г — я | + |г — b \ \ а — Ь |) (10.23) будет удовлетворять уравнению (10.20), ибо, как легко проверить,
А In 5 = п-і-T-J-. (10.24)
I г—а I I г — b I ' v '
Таким образом, искомое решение уравнения (10.18) имеет вид
V{ab)__ 1 (с д2 Ins д2 Ins d*lns \ мл 9cv
-T\oih IZJmT— dah dbi ) •
Обратимся теперь к уравнению (10.17). Частное решение его легко написать. Мы имеем
= ± {Xi~art%~ah) ¦ (10.26)
Однако нам нужно не произвольное частное решение, а то, которое вне масс совпадает с истинным (т. е. всюду конечным) решением. Чтобы найти это последнее, нам нужно иметь такое выражение для Qiha\ которое было бы справедливо и внутри масс. Положим для краткости
vih = y*mlvW> (10.27)
и перенесем начало координат в точку а. Тогда функция Vih должна будет удовлетворять уравнению
A,ift = i|4gradu)*--^-J^ (10.28) 2 264 В. А. Фок
ГДЄ
U = U (г) (10.29)
есть потенциал, происходящий от массы та. Решения уравнения (10.28) можно искать в виде
Vik ¦
= XiXk~^ikr2 p(r)-6ikq(r). (10.30)
Тогда р (г) и q (г) должны удовлетворять уравнениям
-Sl-T-I-= -Л' W2' (10-31)
(10-32)
откуда, имея в виду граничные условия для Vikl получаем
Г OO
р(г) =4" I rV W2 ^+T- J jiT^ (10-33)
О г
OO г
9 (г) = i- J то' (г)2 dr +JL J rV (г)2 dr. (10.34)
г О
Если радиус тела равен L1 то при г > L
U (Г) = (10.35)
и выражения для р (г) и q (г) приведутся к следующим:
P (г)= V472m2r — 1/&у2тгХ, (10.36)
+ (10.37) где через е и % обозначены постоянные:
OO
8=W і(grad u)2dx=~k\r4'(г)2 dr' (10-38)
о
L
b = (10.39)
О
Величина е есть взятая с обратным знаком взаимная потенциальная энергия частиц, составляющих тело; величина % есть некоторая длина порядка L (при постоянной плотности % = 6/7L). О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 265
Подставив найденные значения для р (г) и q (г) в формулу (10.30), получим
V«-™ , . „ -H--- .. ,« ((040>
Vik =-4^--X У m4t *---T ih Tr ' (10-40)
Если мы заменим здесь Xi на Xi — a t и снабдим значком а величины иг, е, Я, то по разделении на у2т2а мы получим вследствие (10.27) следующее окончательное выражение для У1?а):
T7(Ofl) _ 1 (xi — ai)(xk — ak) К Г — flj) (Xk — flfc)
2A 4 I г — а 5 L I г —а I5
