Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
(5.10)
а < L < R.
(5.11) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 249
масс та, mb,... . Декартовы координаты массы та в момент времени t будут
aI (*)> а2 (t), аз (t) (для та). (6.01)
Чтобы избежать нагромождения значков, мы координаты разных масс не нумеруем, а обозначаем разными буквами.
Масса та распределена с плотностью ра, зависящей только от разностей координат:
pa = Pa — (t), X2 — a2 (?), X3 — а3 (?)], (6.02)
или даже (в случае сферической симметрии) только от расстояния точки от центра массы та:
Pa = Pa (I Г — а I), (6.03)
где положено
I г — a I = Y~ ^i)2 + 0? — a2)2 + (? — аз)2. (6.04)
Распространенный на окрестности точки а интеграл равен
pa dxi Ax2 dx з = та, (6.05)
(a)
т. е. он равен лежащей там массе.
Нулевая компонента тензора материи будет иметь вид
7,00=^-S р- <6-06>
а
где суммирование производится по всем массам. Компоненты с одним значком нуль будут
г°і==4-2 р (6-07>
где положено
at = AaiIAt. (6.08)
Наконец пространственные компоненты будут приближенно равны
а
где первый член (сумма по а) может терпеть разрыв на границах областей, занятых материей, а второй член T*ik есть непрерывная функция координат с производными, которые остаются конечными, но могут допускать разрывы там же, где величины ра. 2 250 В. А. Фок
Как известно, расходимость тензора материи должна равняться нулю во всем пространстве. Однако при формулировке этого условия необходимо учесть, что расходимость тензора, даже в том грубом приближении, которое нам здесь нужно, не будет просто равна сумме производных от его компонент по координатам и времени. Для удобства изложения мы забежим здесь несколько вперед и приведем приближенные формулы для расходимости произвольного симметричного тензора в гармонических координатах; эти формулы, которые будут выведены ниже, имеют вид
(WO)
rj дГіо , dTik dU_T00^ (6Л1)
dt dxfr
где U есть ньютонов потенциал тяготения. Все ковариантные компоненты тензора T^iv предполагаются здесь одного и того же порядка величины относительно 1 /с, как это имеет место для тензора материи. Из этих формул ясно, что условие равенства нулю расходимости тензора T^v хотя и приводит в первом приближении к равенству
дТ00 , OToi
dt дхі но не приводит к равенству
dTio dTik
:0, (6.12)
dt дхь.
:0. (6.13)
Обратимся теперь к нашим приближенным выражениям (6.06), (6.07) и (6.09) для тензора материи. Пользуясь тем, что плотность ра зависит, согласно (6.02), от координат и времени только через посредство разностей Xi — Cii (t), легко проверить, что соотношение (6.12) выполняется. Что касается остальных соотношений, то мы имеем
дТЫ 1 ^sn dpa • • . дТ*і* /? л /ч
=— 2 1§Г a^ + "sr • (6-14)
дТі0 1 V1 opa ' ' , 1 V1 •• /а л
a а
Плотность pa может быть разрывной функцией от координат, так что производные от нее могут достигать очень больших значений. Поэтому существенно то, что при составлении суммы (6.14) и (6.15) члены, содержащие производные от плотности, сокращаются, и мы получаем
dTio dTik dT*ik 1 ..
—S P^- (6Л6) О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ! МАСС 251
Оставшиеся члены будут (в отличие от сократившихся) везде конечными. Эти члены и должны сократиться с последним членом в (6.11).
Таким образом, мы можем считать, что в данном приближении компоненты Г00 и Гі0 нам известны вполне, компоненты же Tik известны лишь с точностью до функций Tuk, имеющих конечные производные. Эти функции будут определены нами в дальнейшем {§ 12); для получения же исходного приближения достаточно знать компоненты Г00 и T0i.
7. ИСХОДНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Обратимся теперь к уравнениям тяготения, которые имеют
вид
ДМ (7.01)
Первая ориентировка должна состоять в определении порядка величины отклонений искомых функций ^v от их евклидовых значений (4.12). Для этого рассмотрим структуру формулы (3.28) для тензора Эйнштейна.
Мы имеем
- iUy^yv + WL -^v + iUg^B . (7.02)
Как мы знаем, члены, содержащие B^ и 5, обратятся в нуль, если мы будем пользоваться гармонической координатной системой. Однако заранее положить их равными нулю мы не можем, так как у нас не только сами уравнения тяготения, но и условия гармоничности будут выполняться лишь приближенно. Поэтому у нас величины Tv не будут строго равны нулю, и нам нужно будет следить, чтобы погрешность в выполнении уравнений тяготения соответствовала погрешности в выполнении условий гармоничности Tv = 0. Это будет иметь место, если в R^ будут отбрасываться члены того же порядка, как в 1>V или в S^v.
Во всяком случае, мы вправе предполагать, что уже для исходного приближения члены, содержащие B^ и B1 достаточно малы по сравнению с остальными, так что их можно не рассматривать (разумеется, после получения исходного приближения это предположение должно быть проверено). Если отбросить Bliv и 5, то в формуле (7.02) останутся члены двоякого вида: с первыми производными и со вторыми производными. Так как первые производные входят квадратично, а вторые — линейно, то мы должны ожидать, что главными будут члены со вторыми производными. 2 252 В. А. Фок
