Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Эти величины удобны прежде всего тем, что выраженное через
них условие гармоничности координат принимает простой вид
<4-°7>
так что оно является линейным относительно неизвестных функций. Кроме того, для дальнейшего существенно то, что в левую часть каждого из уравнений тяготения (4.01) входит оператор Даламбера от соответственной компоненты тензора ^v.
Таким образом, искомые функции ^v подчинены нелинейным уравнениям (4.01) и линейным добавочным условиям (4.07). Кроме того, они должны удовлетворять условиям на бесконечности, а именно стремиться там к постоянным значениям, соответствующим элементу дуги пространства Минковского,
ds2 = сЧх\ — dx\ — dx\ - dx\. (4.08)
Согласно (4.08), эти значения равны
goo = с2; Sik = — 6 ik; gt о = 0. (4.09)
Так как пространство с элементом дуги (4.08) есть псевдоевклидово пространство, то и значения (4.09) компонент фундаментального тензора следовало бы называть псевдоевклидовыми; мы будем, однако, называть их для краткости просто евклидовыми, без приставки «псевдо».
Составленный из компонент (4.09) определитель g равен —с2, так что
V~e = e. (4.10)
Контравариантные компоненты фундаментального тензора равны goo = 1/c2. 8ik; giQ = 0. (4.11)
Умножая (4.11) на (4.10), получаем евклидовы значения искомых функций ^v
300 = 1/с; $ik=-coik; й<о = о, (4.12)
которые и являются предельными значениями этих функций на бесконечности. О ДВИЖЕНИИ КОНЕЧНЫХ МАСС 245
5. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ
Пока мы не сделали никаких физических предположений о распределении материи, поставленная задача не может быть определенной и с математической точки зрения. Формально это выразится в том, что нам будут неизвестны правые части уравнений тяготения (тензор материи). Для придания задаче определенности мы не можем, однако, просто потребовать, чтобы компоненты тензора материи задавались нам наперед. Без знания метрики задание компонент тензора материи как функций от координат возможна только в той области, где эти компоненты равны нулю. В области же, занятой материей, мы встречаемся со следующим своеобразным положением: задание тензора материи требует знания метрики; метрика же сама зависит от материи. Поэтому определение компонент тензора материи в области, где они отличны от нуля, может быть, строго говоря, произведено только совместно с определением фундаментального тензора. Задачу нужно здесь ставить следующим образом. Требуется найти такие ^iv, которые, будучи поставлены в левую часть уравнений Эйнштейна, дадут для тензора материи в правой части выражения, могущие быть истолкованными в соответствии «с определенной физической задачей».
В дальнейшем мы будем иметь в виду задачу астрономического типа, т. е. задачу о движении небесных тел в пустом пространстве. Как известно из астрономических наблюдений, в мировом пространстве масса распределена далеко не равномерно, а сконцентрирована в виде отдельных небесных тел, находящихся на больших расстояниях друг от друга. Сообразно этому мы будем считать, что компоненты тензора материи равны нулю во всем пространстве, кроме некоторых отдельных областей, размеры которых малы по сравнению с их расстояниями; каждая такая область соответствует небесному телу. Число вводимых в рассмотрение небесных тел (отдельных масс) остается, конечно, произвольным и составляет одно из условий задачи.
Мы будем искать такое решение уравнений тяготения, которое соответствовало бы сферически-симметричным небесным телам, характеризуемым одной функцией — плотностью р (г), где г — расстояние от центра тела. Учет отклонений от сферической симметрии не представляет каких-либо принципиальных затруднений для нашего метода расчета; мы ограничиваемся случаем сферической симметрии только ради простоты выкладок.
На первый взгляд казалось бы естественным рассматривать математически каждое тело как особенную точку фундаментального тензора (или функций Во вводном, § 1 нашей статьи мы и говорили для краткости об особенных точках. Однако эта идеализация недопустима потому, что на самом деле метрика везде, в том числе и внутри материи, весьма мало отличается от 246 В. А. Фок
евклидовой. Следовательно, функции ^v везде отличаются весьма мало от постоянных значений (4.12) и особенных точек в математическом смысле не имеют. Поэтому правильнее говорить не об особенных точках, а об особенных областях, разумея под ними те, где тензор материи отличен от нуля.
Малость отклонений от их евклидовых значений (4.12) играет в нашем исследовании существенную роль и является обязательной предпосылкой для применимости наших вычислений.
Как известно х) (и как будет выведено нами ниже), порядок величины отклонений диагональных элементов фундаментального тензора от их евклидовых значений (точнее — относительных отклонений) характеризуется величиной Ulc^, где U есть ньютонов потенциал тяготения, равный для одной сферически-симметричной массы
U = ут/г. (5.01)
Поэтому условие, чтобы метрика мало отличалась от евклидовой, равносильно требованию, чтобы ньютонов потенциал тяготения был мал по сравнению с квадратом скорости света:
