Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда, по теории Эйнштейна, это будут уравнения движения безмассовой точки в гравитационном поле некой массы, находящейся в точке x1 = х2 = х3 = 0, если для «компонент гравитационного поля» Г всюду, кроме точки x1 = x2 = x3 = 0, выполняются «уравнения поля»
2 ^l+SrW«=o, (4)
а а, ?
а также «условие для определителя»
I Sxv I = - 1. (5)
Уравнения поля с условием для определителя обладают тем фундаментальным свойством, что они сохраняют свой вид при замене переменных x1, x2, x3, x4 любыми другими переменными, если только соответствующий якобиан равен 1.
Если x1, х2, x3 — прямоугольные координаты, а через х4 обозначено время, и если мы хотим, чтобы масса в начале координат не менялась со временем, а движение на бесконечности было равномерным и прямолинейным, то, согласно расчетам г-на Эйнштейна [1, стр. 833], должны выполняться еще следующие требования.
1. Все компоненты метрики не должны зависеть от времени
2. Равенства gp4 = g4p = 0 должны выполняться строго при р = 1,2,3.
3. Решение должно быть симметричным в пространстве вокруг начала координат, т. е. переходить само в себя при ортогональном преобразовании координат x1, х2, x3 (вращении).
4. На бесконечности должны обращаться в нуль все величины gJiv, кроме четырех, имеющих следующие отличные от нуля предельные значения:
?44 = 1, Sll = ?22 = #33 = — 1
Задача состоит в том, чтобы отыскать линейный элемент с такими коэффициентами, которые удовлетворяли бы уравнениям поля, условию для определителя и четырем перечисленным требованиям. О ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОЙ МАССЫ 201
§ 2. Г-н Эйнштейн показал, что в первом приближении решение этой задачи приводит к закону Ньютона, а во втором правильно описывает известную аномалию в движении перигелия Меркурия. Вычисления же, приводимые ниже, дают точное решение задачи. Всегда приятно иметь точные решения простого вида. Но еще важнее, что эти вычисления одновременно показывают единственность решения, относительно которой подход г-на Эйнштейна оставлял сомнения и которая при таком методе приближений, как станет видно из дальнейшего, может быть продемонстрирована лишь с трудом. Последующие строки придадут больше чистоты блестящему результату г-на Эйнштейна.
§ 3. Если время обозначить через t, а прямоугольные координаты — через X, у, z, то очевидно, что наиболее общим линейным элементом, удовлетворяющим требованиям 1—3, является следующий:
ds2 = Fdt2 — G (<ix2 + dt + dz2) —
— H (х dx + у dy + Z dz)2.
Здесь FjG и Н — функции величины г = У х2 + y2 + z2.
Требование 4 сводится к тому, чтобы при г = оо выполнялись равенства F = G= 1, H = 0.
Переходя к сферическим координатам по формулам
X = г sin 0 cos ф, у = г sin 0 sin ф, Z= г cos 0, получаем для того же линейного элемента выражение
ds2 = Fdt2 — G (іdr2 + г2 d№ + г2 sin2 0 гіф2) -- Hr2 dr2 =
= F dt2 - (G + Hr2) dr2 - Gr2 (d№ + sin* 0 cfcp2)*
При этом элемент объема в сферических координатах равен г2 sin 0 dr d0 dtp, так что якобиан преобразования от старых координат к новым, равный г2 sin 0, отличен от единицы. Поэтому уравнения поля не сохраняют своего прежнего вида, если их записать в сферических координатах, и требуют основательного преобразования. Но можно обойти эту трудность, если воспользоваться простым искусственным приемом. Положим
г3
Xi=-, X2=-CosQ, X3 = Ц). (7)
Тогда элемент объема примет вид г2 dr sin 0 dQ dq> = dx1 dx2 dx3. Следовательно, новые переменные можно толковать как сферические координаты с определителем, равным единице. Они сохраняют 202 uf. Шварцшильд
очевидные преимущества сферических координат при решении данной задачи, и вместе с тем при переходе к ним, если принять также t = X4, уравнения поля и условие для определителя не меняют своего вида.
В новых сферических координатах линейный элемент имеет
вид
ds* = Fdxl-(^ + ^)dx\-Gr*[-^ + dxl( I-^22)], (8) что мы перепишем в виде
ds^ = hdxl-ndx]-f21^-f3dxUl-xl). (9)
Здесь Z1, /2 = /з, /4 — три функции переменной X1, которые должны удовлетворять следующим условиям:
1) /і^=(3*і)-4/3,
/2 = /з = г2 = (Sx1)2/3, X4 = 1 при X1 = оо;
2) условие ДЛЯ определителя /1/2/3/4 = U
3) уравнения поля;
4) функции / непрерывны всюду, кроме ТОЧКИ X1 = 0.
§ 4. Чтобы записать уравнения поля в явной форме, нужно сначала вычислить компоненты гравитационного поля, соответствующие линейному элементу (9). Для этого проще всего прямым варьированием найти дифференциальные уравнения геодезической линии, а из них уже взять указанные компоненты. Такое варьирование непосредственно дает дифференциальные уравнения геодезической линии для элемента (9) в виде
n f Px1 1 dU I dx4 \2 , 1 d/i / dxX \2 U п ds2 ^ 2 Qx1KdsI 2 дхх \ ds )
Л = ^2 ^2*2 I ^2 1 dXl dX2 I /2^2 / ^2 \2 і 1—^1 de2 ^r1 1—a?l ds ds (I-^l)2 We / О ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОЙ МАССЫ 203
Q_ г d2x4 d/4 Cte1 cfo4
^4 ds2 ^r1 ds ds *
Сравнение с уравнением (2) дает следующие выражения для компонент гравитационного поля:
1 1 djx . 2 Zi ^r1 '
1 1 0/2 1 .
