Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
dF»v
(63)
Положим
F^ = %, Я*= -ei,
= . (64)
Эти величины в частном случае специальной теории относительности равны соответственно величинам . . ., ez. Далее, положим
Z1 = Ix, Iz=U, /4=* Р.
Тогда вместо (63) получим
. и де'
divee = p.
(63а)
Уравнения (60), (62), (63) представляют собой обобщение мак-свелловых уравнений поля в пустоте при сделанном допущении относительно выбора координат. 188 А. Эйнштейн
Компоненты тензора энергии электромагнитного поля. Образуем внутреннее произведение
Ko = FoviI11. (65)
Его компоненты, написанные согласно (61), в трехмерных обо-значениях имеют вид
*! = ре*+ И, Ых
....................(65а)
X4= — (І, е).
Величина X0 представляет собой ковариантный 4-вектор г компоненты которого с обратным знаком равны импульсу илиг соответственно, энергии, которые передаются электрическими зарядами электромагнитному полю в единицу времени и в единице* объема. Если электрические заряды свободны, т. е. если они находятся под влиянием одного только электромагнитного поля, то ковариантный 4-вектор X0 обращается в нуль.
Чтобы получить компоненты энергии Tg электромагнитного поля, достаточно уравнению X0 = 0 придать вид уравнения (57). Тогда из (63) и (65) сначала получим
F fllv jpvJF3l
Второй член в правой части, в силу (60), может быть преобразован следующим образом:
dFOH 1 „UV dFW 1 „„ VR 17 dFW
Из соображений симметрии последнее выражение может быть записано также и в виде
-T [ W--Sfe-+w-^-^].
Но вместо этого можно написать
1 д r^vl + TV^W.
4 дхв V6 6 *pt wv/ ^ 4 Первый член этого выражения можно представить в виде
Второй член после выполнения дифференцирования и некоторого преобразования принимает форму
2 Г r^vg Oxci • ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 189-
Объединяя все три вычисленных члена, получаем соотношение
Равенство (66) при иа, равном нулю, в силу (30), эквивалентно {57) или соответственно (57а). Следовательно, T0 представляют собой компоненты энергии электромагнитного поля. При помощи равенств (61) и (64) легко показать, что эти компоненты энергии электромагнитного поля в случае специальной теории относительности соответствуют известным выражениям Максвелла — Лойнтинга.
Итак, мы вывели самые общие законы, которым удовлетворяют гравитационное поле и вещество, пользуясь при этом координатной системой, в которой V — S = 1- Благодаря этому мы значительно упростили формулы и расчеты, не отказываясь в то же время от требования общей ковариантности, ибо мы вывели наши уравнения из общековариантных уравнений, выбирая лишь специальным образом координатную систему.
Все же не лишен формального интереса вопрос, остаются ли в силе законы сохранения (импульса и энергии), а также уравнения гравитационного поля, представленные в виде уравнений {56) и соответственно (52) или (52а), в которых слева стоит дивергенция (в обычном смысле), а справа — сумма компонент энергии вещества и гравитационного поля, в том случае, когда при соответственно обобщенном определении компонент энергии гравитационного поля и вещества не делается специального выбора координатной системы. Я нашел, что это действительно так. Однако я полагаю, что изложение довольно длинных рассуждений по данному вопросу нецелесообразно, поскольку при этом ничего существенно нового не получается.
Д. § 21. ТЕОРИЯ НЬЮТОНА КАК ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Как уже упоминалось много раз, специальная теория относительности, рассматриваемая как частный случай общей теории «относительности, характеризуется тем, что ^fjiv имеют постоянные значения (4). Согласно изложенному выше, это означает полное пренебрежение гравитационными действиями. Более близкое к действительности приближение мы получаем, рассматривая случай, когда все ^rljtv отличаются] от значений (4) лишь на малые (по сравнению с 1) величины; при этом мы пренебрегаем малыми величинами второго и более высоких порядков. (Первая предпосылка приближенного решения основных уравнений.)
(66)
причем
Tl= -FaaF™O^a(3r?.
(66а) 190 А. Эйнштейн
Далее, допустим, что в рассматриваемой пространственно-временной области при надлежащем выборе системы координат величины ^rjjiv в пространственной бесконечности стремятся к значениям (4); это значит, что мы рассматриваем гравитационные поля, которые могут считаться созданными только веществом, находящимся в конечной области пространства.
Можно было бы думать, что упомянутые пренебрежения должны привести к теории Ньютона. Однако для этого в основных, уравнениях требуется сделать некоторые приближения еще и с другой точки зрения. Рассмотрим движение материальной точкиг удовлетворяющее уравнениям (46). В случае специальной теории: относительности компоненты
dxi dx2 dx з ds ' ds ' ds
могут принимать любые значения; это означает, что могут встречаться любые скорости
меньшие скорости света в пустоте (V < 1). Если ограничиться случаем, который почти всегда встречается на опыте, когда v мало по сравнению со скоростью света, то это будет означать, что компоненты
