Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
а корню К — бивектор
4
Wpq = Kt Ipq-іIpq) і +v f
4 1 \14 23 У 1 V24 31 J 1 \3 4 12 /
Представим бивектор PFp5 в виде суммы двух вещественных *
бивекторов Vvq-\~iVvq\ тогда і і
Iyvq _ ypg . _ ІУpge 4 1 1
Пусть
11 2 2 зз
где а, 6— вещественные числа (5 = 1,2,3), и, следовательно,
6 S
ypg = а ^pq + а %pq + а ^pq^b Ipq— b Ivq — Ъ Ivq;
1 1 14 2 24 3 34 1 23 2 31 3 12
VPQ = blvq + blpq + b l*q + aivq + alvq + a Ipq.
1 1 14 2 24 3 34 1 23 2 31 3 12
Так как Wa — неизотропный вектор і?6, то всегда можно счи-1
тать, что это единичный вектор
ga?waw^ 1, 11КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 221
откуда приходим к выводу, что
3
Sfli = 0, (21)
S=I 8 $
3
2 &2_а2>0. (22) 5=1 5 5
Теперь можно утверждать следующее.
*
1) Вещественные бивекторы Vpq и Vpq однолистны. В самом
і і
деле, записывая условие простоты, мы придем к (21).
2) Они 0-параллельны. Они не могут быть 2/2-параллельными, так как это может быть только при условии, что коэффициенты
при одинаковых ^pq пропорциональны; тогда бы они были нулями.
ij
Например,
а Ъ
Ъ а ' t
1 I1
Они не могут быть и 1/2-параллельными, так как тогда Wa был
і
бы однолистный комплексный бивектор, но, записывая условие простоты, мы пришли бы к противоречию с (21) и (22). Таким образом, остается только указанная выше возможность.
3) Эти бивекторы 2/2-перпендикулярны. Для этого необходимо и достаточно, чтобы при любых i, j выполнялись равенства
VisVsj = O. 1 1
Легко видеть, что они сводятся к (21) и, следовательно, имеют место.
Рассмотрим простой бивектор Vpq. Его норма, в силу (22),
ga?VaV^ = 2 ь2—а2 > о. 11 8 8
В плоскости этого вещественного бивектора всегда можно выбрать два вещественных, ортогональных и неизотропных вектора т]р, vp. Тогда норма нашего бивектора может быть также выражена в виде
2г)рТ1V'VqVq,
и, следовательно, эти два вектора либо оба пространственные, либо оба временные. Их нормы не могут быть > 0, так как, принимая эти два ортогональных вещественных вектора за координатные, мы пришли бы к противоречию с закойом инерции квадратичной формы. Следовательно, эти два вектора имеют отрицательные222 А. З. Петров
нормы. Ввиду этого, перенормируя, их можно принять за векторы * 4 * .
I1, I1 нового вещественного ортогонального репера.
2 Я
*
Точно так же в плоскости Vpq определим два ортогональных
і
(между собою и с |г) вектора, вещественных, неизотропных,
2 3
но уже с нормами противоположных знаков, так как
ga?Vav? < 0; 1 1
эти векторы обозначим через В такой системе координат
1 4
Не
ЦГРЯ _ %pq tfipq 1 14 23
ЦТ VQ = Ipq — i%Pq.
4 14 23
*
Отметим, что репер (? выбран с точностью до вращения в пло-скости і и лоренцова вращения в плоскости |??1. Бивекторы Wvq нас интересуют, конечно, только с точностью до скалярного
а
множителя.
Теперь, записывая условие ортогональности Wvq и Wvq,
1 2
получаем, очевидно, что бивектор 2-го главного направления должен иметь вид
W^e = Iif ^ + i^ + vfEPff + iW.
2 2 \24 31 / 2 \34 12 /'
Воспользуемся указанным выше произволом в выборе репера и произведем вращения
Р = сЬфІр + 81іфІр, ]
1 1 4
P = sh фР + СЬ
4
* Не J
Р + сЬфР;
1 4 J
^ = COS Il^p+ sin IfgP1
2 2 3
EpS= -SinifIp + cos ф. 3 2 зКЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 223
После этих преобразований W будет иметь прежний вид, а, сле-
1
довательно, W также выразится в виде
2
Wpq==^t %pq + і fq) + V (%pq + i\pq\,
2 2 \24 31 / 2 \3 4 12 J
где
V = sin \f> ch ф + p cos ch ф + q sin \f> sh ф +
2
+ і (cos \f> sh ф + q cos i|) ch ф — p sin \|) sh ф), *
V
, . 2 р + щ = -*
e
He
и \i можно считать отличным от нуля, так как в противном случае
2
мы удовлетворились бы значениями ф = \|з = 0. Можно найти
вещественные ф и г)) для каждых v — 0. Теперь репер определен
2
однозначно, и в этом репере, если учесть ортогональность W,
і
W, W, эти бивекторы будут иметь вид (с точностью до скалярного
2 3
множителя)
Wpq= lpq + ilpq,
1 14 23
Wpq= +
2 24 31
IYpq = Ipq+і Ipq
3 34 12
и, в силу указанной выше комплексной сопряженности, Wpq = Wpq Wpq = Wpq Wpq = Wpq.
4 1 ' 5 2 ' 6 3
Теперь, записывая условие (18) для каждого из этих бивекторов и учитывая, что
Iff = б°а,
а
легко находим
та = — a, Trtij = 0, пп = ?, Uij = 0 (і = 1, 2, 3; і Фі)224 А. З. Петров
и, следовательно, для первого типа Г4 получаем следующий канонический вид матрицы:
(ад=
— а
і
— а
2
— а
з
-?
і
-р
3
-P
а
і
а
(23)
причем вещественные части стационарных кривизн связаны соотношениями
з
S
(24)
а мнимые части, в силу тождества Риччи
-^1423 + -ffl234 + -^1342 ~ ^
подчиняются условию
S?=0.
1 S
(25)
Переходим к рассмотрению Г4 с характеристикой второго типа: [21, 21]. Как было показано выше (§ 2), за главные направления и инвариантные пучки Z-матрицы можно взять главные направления и инвариантные пучки матриц P (К) и P (К). Отсюда следует, что достаточно изучить, например, матрицу P (K)1 имеющую характеристику [21].