Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 78

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 205 >> Следующая


а корню К — бивектор

4

Wpq = Kt Ipq-іIpq) і +v f

4 1 \14 23 У 1 V24 31 J 1 \3 4 12 /

Представим бивектор PFp5 в виде суммы двух вещественных *

бивекторов Vvq-\~iVvq\ тогда і і

Iyvq _ ypg . _ ІУpge 4 1 1

Пусть

11 2 2 зз

где а, 6— вещественные числа (5 = 1,2,3), и, следовательно,

6 S

ypg = а ^pq + а %pq + а ^pq^b Ipq— b Ivq — Ъ Ivq;

1 1 14 2 24 3 34 1 23 2 31 3 12

VPQ = blvq + blpq + b l*q + aivq + alvq + a Ipq.

1 1 14 2 24 3 34 1 23 2 31 3 12

Так как Wa — неизотропный вектор і?6, то всегда можно счи-1

тать, что это единичный вектор

ga?waw^ 1, 11 КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 221

откуда приходим к выводу, что

3

Sfli = 0, (21)

S=I 8 $

3

2 &2_а2>0. (22) 5=1 5 5

Теперь можно утверждать следующее.

*

1) Вещественные бивекторы Vpq и Vpq однолистны. В самом

і і

деле, записывая условие простоты, мы придем к (21).

2) Они 0-параллельны. Они не могут быть 2/2-параллельными, так как это может быть только при условии, что коэффициенты

при одинаковых ^pq пропорциональны; тогда бы они были нулями.

ij

Например,

а Ъ

Ъ а ' t

1 I1

Они не могут быть и 1/2-параллельными, так как тогда Wa был

і

бы однолистный комплексный бивектор, но, записывая условие простоты, мы пришли бы к противоречию с (21) и (22). Таким образом, остается только указанная выше возможность.

3) Эти бивекторы 2/2-перпендикулярны. Для этого необходимо и достаточно, чтобы при любых i, j выполнялись равенства

VisVsj = O. 1 1

Легко видеть, что они сводятся к (21) и, следовательно, имеют место.

Рассмотрим простой бивектор Vpq. Его норма, в силу (22),

ga?VaV^ = 2 ь2—а2 > о. 11 8 8

В плоскости этого вещественного бивектора всегда можно выбрать два вещественных, ортогональных и неизотропных вектора т]р, vp. Тогда норма нашего бивектора может быть также выражена в виде

2г)рТ1V'VqVq,

и, следовательно, эти два вектора либо оба пространственные, либо оба временные. Их нормы не могут быть > 0, так как, принимая эти два ортогональных вещественных вектора за координатные, мы пришли бы к противоречию с закойом инерции квадратичной формы. Следовательно, эти два вектора имеют отрицательные 222 А. З. Петров

нормы. Ввиду этого, перенормируя, их можно принять за векторы * 4 * .

I1, I1 нового вещественного ортогонального репера.

2 Я

*

Точно так же в плоскости Vpq определим два ортогональных

і

(между собою и с |г) вектора, вещественных, неизотропных,

2 3

но уже с нормами противоположных знаков, так как

ga?Vav? < 0; 1 1

эти векторы обозначим через В такой системе координат

1 4

Не

ЦГРЯ _ %pq tfipq 1 14 23

ЦТ VQ = Ipq — i%Pq.

4 14 23

*

Отметим, что репер (? выбран с точностью до вращения в пло-скости і и лоренцова вращения в плоскости |??1. Бивекторы Wvq нас интересуют, конечно, только с точностью до скалярного

а

множителя.

Теперь, записывая условие ортогональности Wvq и Wvq,

1 2

получаем, очевидно, что бивектор 2-го главного направления должен иметь вид

W^e = Iif ^ + i^ + vfEPff + iW.

2 2 \24 31 / 2 \34 12 /'

Воспользуемся указанным выше произволом в выборе репера и произведем вращения

Р = сЬфІр + 81іфІр, ]

1 1 4

P = sh фР + СЬ

4

* Не J

Р + сЬфР;

1 4 J



^ = COS Il^p+ sin IfgP1

2 2 3

EpS= -SinifIp + cos ф. 3 2 з КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 223

После этих преобразований W будет иметь прежний вид, а, сле-

1

довательно, W также выразится в виде

2

Wpq==^t %pq + і fq) + V (%pq + i\pq\,

2 2 \24 31 / 2 \3 4 12 J

где

V = sin \f> ch ф + p cos ch ф + q sin \f> sh ф +

2

+ і (cos \f> sh ф + q cos i|) ch ф — p sin \|) sh ф), *

V

, . 2 р + щ = -*

e

He

и \i можно считать отличным от нуля, так как в противном случае

2

мы удовлетворились бы значениями ф = \|з = 0. Можно найти

вещественные ф и г)) для каждых v — 0. Теперь репер определен

2

однозначно, и в этом репере, если учесть ортогональность W,

і

W, W, эти бивекторы будут иметь вид (с точностью до скалярного

2 3

множителя)

Wpq= lpq + ilpq,

1 14 23

Wpq= +

2 24 31

IYpq = Ipq+і Ipq

3 34 12

и, в силу указанной выше комплексной сопряженности, Wpq = Wpq Wpq = Wpq Wpq = Wpq.

4 1 ' 5 2 ' 6 3

Теперь, записывая условие (18) для каждого из этих бивекторов и учитывая, что

Iff = б°а,

а

легко находим

та = — a, Trtij = 0, пп = ?, Uij = 0 (і = 1, 2, 3; і Фі) 224 А. З. Петров

и, следовательно, для первого типа Г4 получаем следующий канонический вид матрицы:

(ад=

— а

і

— а

2

— а

з

-?

і



3

-P

а

і

а

(23)

причем вещественные части стационарных кривизн связаны соотношениями

з

S



(24)

а мнимые части, в силу тождества Риччи

-^1423 + -ffl234 + -^1342 ~ ^

подчиняются условию

S?=0.

1 S

(25)

Переходим к рассмотрению Г4 с характеристикой второго типа: [21, 21]. Как было показано выше (§ 2), за главные направления и инвариантные пучки Z-матрицы можно взять главные направления и инвариантные пучки матриц P (К) и P (К). Отсюда следует, что достаточно изучить, например, матрицу P (K)1 имеющую характеристику [21].
Предыдущая << 1 .. 72 73 74 75 76 77 < 78 > 79 80 81 82 83 84 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed