Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения поля для свободного от вещества пространства, выведенные в предыдущем параграфе, нужно сравнить с уравнением поля
Дф = О
теории Ньютона. Мы должны найти уравнение, которое соответствует уравнению Пуассона
Дф = 4яхр,
где р — плотность вещества.
Специальная теория относительности привела к тому выводу, что инертная масса есть не что иное, как энергия, полное математическое выражение которой дается симметричным тензором 2-го ранга, тензором энергии. Поэтому и в общей теории относительности придется ввести некоторый тензор энергии вещества Tci имеющий смешанный характер, как и компоненты to [уравнения 182 А. Эйнштейн
(49) и (50)] гравитационного поля, но в то же время соответствующий симметричному ковариантному тензору х).
Система уравнений (51) показывает, как ввести этот тензор энергии (соответствующий плотности р в уравнении Пуассона) в уравнения гравитационного поля. Если рассматривать замкнутую систему (например, Солнечную систему), то общая масса системы и, следовательно, ее общее гравитирующее действие будут зависеть от всей энергии системы, т. е. от совокупности энергии вещества и энергии поля тяготения. Это можно выразить тем, что в уравнениях (51) вместо одних только компонент энергии ^ гравитационного поля мы подставим сумму ^ + T0vi компонент тензора энергии вещества и гравитационного поля. Таким образом, вместо (51) получается тензорное уравнение
4г (^1? =-*["(?+t^ —T'5^+ ]'
і/— < (52) У —?= 1>
где T = T(скаляр Лауэ). Это и есть искомые общие уравнения гравитационного поля в смешанной форме. Отсюда, обратно, вместо (47) получается система уравнений
дТа
¦ Tix?Tva--И ( Tvlx gixv?1 ) t
V- I (53)
У -g= і.
Нужно признать, что указанное введение тензора энергии вещества не может быть обосновано одним только постулатом относительности; поэтому выше мы исходили из требования, что энергия гравитационного поля должна действовать в смысле тяготения точно так же, как всякая энергия другого рода. Но самым сильным аргументом в пользу указанных уравнений является то, что из них следуют уравнения сохранения импульса и энергии для компонент полной энергии, в точности соответствующие уравнениям (49) и (49а). Это будет доказано ниже.
§ 17. законы сохранения в общем случае
Уравнение (52) нетрудно преобразовать так, чтобы второй член в правой части обратился в нуль. Для этого следует произвести свертку по индексам р, и сг и вычесть полученное таким образом уравнение, предварительно умноженное на V2 O JJ, из уравнения (52)*
1J SaxT0 -T1ax и = Ta? должны быть симметричными тензорами. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 183-
Тогда получается
-^r Kg^h)= + (52а)
Применяя к этому уравнению операцию dldx0, получаем
^2 (яаргїв) = _ ± * Г (+ . - у1
дхадх0 ^ 2 дхадха \ ё ё \ дх$ ^ dx? дхх JJ'
Первый и третий члены в круглых скобках приводят к взаимно уничтожающимся слагаемым, в чем легко убедиться, если в третьем члене переставить, с одной стороны, индексы суммирования а и а и, с другой стороны, индексы ? и X. Второй член можно преобразовать согласно (31), так что имеем
^2 foo?r«) = ± (54)
дха дх0 v^ 2 дха дх$ dx? ' v ;
Второй член в левой части (52а) сначала дает
1 02 ¦<№),
2 дха дхц
или
1 ^2 f ^?^cco I дёб1 , дш дт
дха дхц
^RgttA /? ¦ 0^ \1
66V d;Z? ^r дх% Ox6 /J-
Член, соответствующий последнему члену в круглых скобках, обращается в нуль при сделанном нами выборе координат, в силу (29). Два других члена можно объединить; тогда на основании соотношений (31) получим
2 дха Ox? dx? 1
так что, принимая во внимание равенство (54), получаем тождество
(55)
Из (55) и (52а) следует
[? ?J = 0. (56)
дх0
Таким образом, из наших уравнений гравитационного поля следует, что законы сохранения импульса и энергии выполняются. В этом проще всего убедиться при помощи рассуждения, которое ведет к уравнению (49а); нужно только вместо компонент энергии tp гравитационного поля ввести компоненты полной энергии вещества и гравитационного поля. 184 А. Эйнштейн
§ 18. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ ДЛЯ ВЕЩЕСТВА КАК СЛЕДСТВИЕ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ
Умножая уравнение (53) на OgixvZdx0, пользуясь приемом, примененным в § 15, и принимая во внимание, что g^v (dg^vZdx0) равно нулю, получаем уравнение
dta . 1 ^v
Tliv = О
дха ^r 2 дх0 ^v или, в силу равенства (56),
-5-+4-4^..-0- (57,
Сравнение с (416) показывает, что это уравнение при сделанном выборе координатной системы выражает не что иное, как обращение в нуль дивергенции тензора энергии вещества. Наличие второго члена в левой части с физической точки зрения означает, что для одного лишь вещества законы сохранения импульса и, энергии в их подлинном смысле не выполняются; точнее говоря, они выполняются лишь тогда, когда g^v постоянны, т. е. когда компоненты напряженности гравитационного поля равны нулю. Этот второй член представляет собой выражение для импульса и, соответственно, для энергии, которые в единицу времени и в единице объема передаются веществу от гравитационного поля. Все это становится еще более ясным, если вместо (57) записать в духе соотноше-
