Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
dx dx 2 dx з
ds ' ds 1 ds
должны рассматриваться как малые величины, в то время как dxjds, с точностью до величин второго порядка, равно 1. (Вторая предпосылка приближенного решения основных уравнений.)
Теперь примем во внимание, что, согласно первой предпосылке-нашего приближения, все Tjtv представляют собой малые величины по крайней мере первого порядка. Отсюда следует, что в выражении (46), согласно второй предпосылке, должны быть учтены только члены с [і = V = 4. Ограничиваясь членами низшего порядка, мы вместо (46) получаем сначала следующие уравнения:
d2xx _ гт dt2 — l44'
причем ds = dx4 = dt. Беря только члены первого порядка, получаем
Cfe4 __ Г441
dt2 ~~ L 4 J ' ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 191-
Если, кроме того, предположить, что гравитационное поле квази-статично, т. е. ограничиться тем случаем, когда вещество, создающее гравитационное поле, движется медленно (по сравнению со скоростью распространения света), то в правой части можно пренебречь производными по времени по сравнению с производными по пространственным координатам; таким образом, получается
¦ж-= 4-?- (*=1.2'3)- <б7>
Это и есть уравнение движения материальной точки в теории Ньютона, причем g44/2 играет роль гравитационного потенциала* Этот результат замечателен тем, что только одна компонента g44 фундаментального тензора определяет в первом приближении движение материальной точки.
Обратимся теперь к уравнению поля (53). При этом должно быть принято во внимание, что тензор энергии «вещества» определяется почти исключительно плотностью вещества р в болео узком смысле этого слова, т. е. вторым членом правой части (58) [и соответственно (58а) или (586)]. В интересующем нас приближении все компоненты, кроме Tu = р = Г, обращаются в нуль. В левой части уравнения (53) второй член представляет собой величину второго порядка малости; первый же член в интересующем нас приближении принимает вид
JL [ Jxv 1 + JL Г ^av 1 -!-— Ґ ^v !__— I^vI
дхг L 1 J дх2 L 2 J дхя L 3 J дхА L 4 J •
Это выражение при \i = v = 4 и при отбрасывании производных по времени переходит в
1 / d*g« , ^gu ^g44 V __
2 \ дх\ дх\ ^ дх* )— 2 ag^
Таким образом, последнее из уравнений (53) может быть записано в виде
Ag44 = ир. (68)
Уравнения (67) и (68), вместе взятые, эквивалентны закону тяготения Ньютона.
Для гравитационного потенциала на основании уравнений (67) и (68) получается выражение
HsJjTl. <68а>
тогда как теория Ньютона при выбранной нами единице времени дает для этой величины выражение
_К_ С pd% с2 J Г 1 192 А. Эйнштейн
где К — обычная гравитационная постоянная, равная 6,7-10~8. Из сравнения обоих выражений получается
K = ^f-= 1,87- IO"27. (69)
§ 22. СВОЙСТВА МАСШТАБОВ И ЧАСОВ В СТАТИЧЕСКОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ. ИСКРИВЛЕНИЕ ЛУЧЕЙ СВЕТА. ДВИЖЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ ПЛАНЕТНЫХ ОРБИТ
Чтобы получить теорию Ньютона как первое приближение, нам пришлось из 10 компонент гравитационного потенциала ^fjiv вычислить только g44, так как только эта компонента входит в полученное в первом приближении уравнение движения (67) материальной точки в гравитационном поле. Но и другие компоненты ^fjiv должны в первом приближении отличаться от значений, данных в (4), так как все они связаны условием g = — 1.
Для материальной точки, создающей поле и находящейся в начале координат, получается в первом приближении радиально симметричное решение:
CC pJ/Q
gpo = —брсу — а гз (р и а принимают значения от 1 до 3), gp4 = g4p = 0 (р принимает значения от 1 до 3), (70)
л а
?44=1--Г>
где бра равно 1 или 0 в зависимости от того, будет ли р = а или р ф а, a
г= +У х]+xt+xl При этом, в силу выражения (68а), имеем
TlM /пп V
а== ~4лГ' (/0а)
где через M обозначена масса, создающая поле. Легко убедиться, что это решение удовлетворяет уравнениям поля (вне массы) в первом приближении.
Исследуем теперь воздействие, которое оказывает на метрические свойства пространства поле массы M. Между «локально» измеренными (см. § 4) длинами и промежутками времени ds, с одной стороны, и приращениями координат dxv — с другой, всегда имеется соотношение
ds2 = g ^dx ^dxv. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 193-
Так, например, для единицы масштаба, расположенной «параллельно» оси X, следует написать
ds2, = — 1, dx2 = dx3 = dx± = О,
т. е.
- 1 = gudxl
Если единица масштаба, кроме того, лежит на самой оси х, то первое из уравнений (70) дает
(i+i).
Из обоих последних соотношений следует в первом приближении
Ar = I--gr. (71)
Итак, если единичный масштаб приложен в радиальном направлении, то в рассматриваемой координатной системе благодаря наличию гравитационного поля он представляется сокращенным в найденном отношении.
Аналогичным путем мы получим координатные длины масштаба в случае поперечного направления, если положим, например,
ds* = — 1, dxx = dx3 = dxz = 0,
X1 ~— Г) X 2 — X з — 0.
В таком случае имеем
— 1 = g2%dxl = — dx\. (71а)
Итак, при поперечном положении масштаба гравитационное поле материальной точки не оказывает никакого влияния на длину стержня.
