Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 76

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 205 >> Следующая


Ы = | I' (5)

т. е. мы приходим, таким образом, к так называемому пространству Минковского. Тогда из (4) следует, что для репера, соответствующего матрице (5), фундаментальный тензор Re будет иметь вид

Г -1 і

-1

-1

1

1

1 J

(gad) =

UaPl= "I,

(6)

т. е. по существу дела ga$ — неопределенный тензор.

§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ Г4

Ряд наиболее интересных проблем, возникающих при исследовании римановых многообразий, связан с тензором кривизны Vn. При помощи этого тензора, как известно, вводится нонятие кривизны Vn в данном двумерном направлении в данной точке, или, что то же самое, гауссовой кривизны двумерной поверхности, геодезической в данной точке,

к RijkiV^Vkl т

~ gpqrsVMVrs > V > КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 215

где gpqrs имеет вид (4), а двумерное направление, определяемое

векторами Vі, Vі, характеризуется простым бивектором Vi^ —

1 2

= ViV3. Введем обобщенную кривизну V71, которая получится, [12]

если в (7) снять требование простоты бивектора Vld. Этот обобщенный инвариант К в некоторой точке V71 будет однородной функцией нулевого измерения от составляющих бивектора Vх3 (не простого, вообще), и, очевидно, он будет иметь смысл в бивекторном пространстве, где он может быть записан в виде

K= n^yay* (8)

Поставим задачей определить критические значения К, что равносильно нахождению тех векторов Vа в Rn, для которых К принимает критические значения. Условимся эти критические значения К называть стационарными кривизнами V71, а соответствующие бивекторы Vа — стационарными направлениями V71. Дело, таким образом, сводится к определению безусловно-стационарных векторов Vа в бивекторном пространстве из необходимых и достаточных условий стационарности

дК 0. (9)

dV{

Необходимо учитывать, что при неопределенном gij тензор ga? тоже неопределенный и, следовательно, возможно появление изотропных стационарных направлений

^af3FaF13 = O. (10)

Исключим сначала этот случай, чтобы затем вернуться к нему ниже.

Если (10) не имеет места, то (9) приводят к выводу, что

(Aa?-^a?)?* = 0, (И)

т. е. стационарные направления V71 будут главными направлениями тензора i?a? в бивекторном пространстве, а стационарные кривизны V71 будут характеристическими числами векового уравнения

|Я«р—?*«р| = 0. (12)

Пусть теперь (10) имеет место для стационарного Vа. Так как нас интересует только К, удовлетворяющее (9), то К — непрерывная функция Fa, и, следовательно, необходимо, чтобы выполнялось условие

RafrVaV^= 0. 216 А. З. Петров

Тогда значение К для стационарного изотропного направления Vа можно, исходя из непрерывности К как функции Vа, вычислить следующим образом:

К (Fa)= Iim К (Fa + dVa).

dVa-+ О

Если для некоторого Vа ввести обозначения

V = ga?VaV?, i|) = /?a?FaF?, (13)

то для стационарного изотропного Vа

Jf(V)= Iim =lim

т /т/" I лТ/Оь\ -г. /т/ач V-1

dV^O Ф (FaH-^Fa)-ф (Fa) у ...

и так как этот предел не может зависеть от способов изменения dFa, то

*

K(Va)= д?° - ДоруР

0F0

ф ^p *

т. е, мы снова приходим к (11).

Определение стационарцых кривизн и направлений Rn приводит к исследованию пары квадратичных форм (13). Следовательно, приведение к каноническому виду этой пары форм в вещественном пространстве дает классификацию для тензора кривизны Vn в данной точке и той области Fn, что включает эту точку, в которой характеристика К-матрицы

И«р-^„р|| (14)

остается неизменной. Каждому типу характеристики матрицы (14) соответствует поле тяготения особого рода. Это и определяет искомую классификацию T4.

Пользуясь вещественным преобразованием, матрицу || ga? || всегда можно привести к виду (6), и остается, пользуясь вещественными ортогональными преобразованиями, упростить матрицу

1|Я«э1|.

Теорема 1. Матрица || Ra$ || для ортогонального репера (5) будет симметрично-сдвоенной. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 217

Для репера (5) уравнения поля примут вид

^ekRikjk = Kgij, ek=±l,

к

т. е. при i = j

S ChRikik = Mu

h

а при іф j

ekRikjk-IeiRiIjI = O (і, 7, А, Іф).

Записывая эти соотношения в собирательных индексах бивектор-ного пространства и учитывая нумерацию, введенную в § 1, получаем для матрицы выражение

MI N

RafrW =

N І —М

N =

M =

nU п12 nIZ ^21 ^22 ^23 ЯЗІ ^32 nZZ

TTlii TTli2t TTl I3 Ш2\ т22 т2В rriZi mZ2 rriZZ

fta? = nfra,

(a, P= 1,2,3),

(15)

где 2mH ~ а S пі і = О, в силу известного тождества Риччи, i=l 1

что и доказывает теорему. Заметим, что к такого рода матрицам, при дополнительном, однако, условии их ортогональности, пришел В. Ф. Каган при изучении группы лоренцовых преобразований [3]. Изучением такого рода матриц при том же предположении об ортогональности занимались Я. С. Дубнов [4] и А. М. Лопшиц [5]. Факт, доказанный предыдущей теоремой, имеет место для любого ортогонального репера, и, следовательно, учитывая, что ортогональный репер определяется при п = 4 с 6-ю степенями свободы, можно рассчитывать на дальнейшее упрощение матрицы за счет выбора 6 вращений.
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed