Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Ы = | I' (5)
т. е. мы приходим, таким образом, к так называемому пространству Минковского. Тогда из (4) следует, что для репера, соответствующего матрице (5), фундаментальный тензор Re будет иметь вид
Г -1 і
-1
-1
1
1
1 J
(gad) =
UaPl= "I,
(6)
т. е. по существу дела ga$ — неопределенный тензор.
§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ Г4
Ряд наиболее интересных проблем, возникающих при исследовании римановых многообразий, связан с тензором кривизны Vn. При помощи этого тензора, как известно, вводится нонятие кривизны Vn в данном двумерном направлении в данной точке, или, что то же самое, гауссовой кривизны двумерной поверхности, геодезической в данной точке,
к RijkiV^Vkl т
~ gpqrsVMVrs > V > КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 215
где gpqrs имеет вид (4), а двумерное направление, определяемое
векторами Vі, Vі, характеризуется простым бивектором Vi^ —
1 2
= ViV3. Введем обобщенную кривизну V71, которая получится, [12]
если в (7) снять требование простоты бивектора Vld. Этот обобщенный инвариант К в некоторой точке V71 будет однородной функцией нулевого измерения от составляющих бивектора Vх3 (не простого, вообще), и, очевидно, он будет иметь смысл в бивекторном пространстве, где он может быть записан в виде
K= n^yay* (8)
Поставим задачей определить критические значения К, что равносильно нахождению тех векторов Vа в Rn, для которых К принимает критические значения. Условимся эти критические значения К называть стационарными кривизнами V71, а соответствующие бивекторы Vа — стационарными направлениями V71. Дело, таким образом, сводится к определению безусловно-стационарных векторов Vа в бивекторном пространстве из необходимых и достаточных условий стационарности
дК 0. (9)
dV{
Необходимо учитывать, что при неопределенном gij тензор ga? тоже неопределенный и, следовательно, возможно появление изотропных стационарных направлений
^af3FaF13 = O. (10)
Исключим сначала этот случай, чтобы затем вернуться к нему ниже.
Если (10) не имеет места, то (9) приводят к выводу, что
(Aa?-^a?)?* = 0, (И)
т. е. стационарные направления V71 будут главными направлениями тензора i?a? в бивекторном пространстве, а стационарные кривизны V71 будут характеристическими числами векового уравнения
|Я«р—?*«р| = 0. (12)
Пусть теперь (10) имеет место для стационарного Vа. Так как нас интересует только К, удовлетворяющее (9), то К — непрерывная функция Fa, и, следовательно, необходимо, чтобы выполнялось условие
RafrVaV^= 0. 216 А. З. Петров
Тогда значение К для стационарного изотропного направления Vа можно, исходя из непрерывности К как функции Vа, вычислить следующим образом:
К (Fa)= Iim К (Fa + dVa).
dVa-+ О
Если для некоторого Vа ввести обозначения
V = ga?VaV?, i|) = /?a?FaF?, (13)
то для стационарного изотропного Vа
Jf(V)= Iim =lim
т /т/" I лТ/Оь\ -г. /т/ач V-1
dV^O Ф (FaH-^Fa)-ф (Fa) у ...
и так как этот предел не может зависеть от способов изменения dFa, то
*
K(Va)= д?° - ДоруР
0F0
ф ^p *
т. е, мы снова приходим к (11).
Определение стационарцых кривизн и направлений Rn приводит к исследованию пары квадратичных форм (13). Следовательно, приведение к каноническому виду этой пары форм в вещественном пространстве дает классификацию для тензора кривизны Vn в данной точке и той области Fn, что включает эту точку, в которой характеристика К-матрицы
И«р-^„р|| (14)
остается неизменной. Каждому типу характеристики матрицы (14) соответствует поле тяготения особого рода. Это и определяет искомую классификацию T4.
Пользуясь вещественным преобразованием, матрицу || ga? || всегда можно привести к виду (6), и остается, пользуясь вещественными ортогональными преобразованиями, упростить матрицу
1|Я«э1|.
Теорема 1. Матрица || Ra$ || для ортогонального репера (5) будет симметрично-сдвоенной. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 217
Для репера (5) уравнения поля примут вид
^ekRikjk = Kgij, ek=±l,
к
т. е. при i = j
S ChRikik = Mu
h
а при іф j
ekRikjk-IeiRiIjI = O (і, 7, А, Іф).
Записывая эти соотношения в собирательных индексах бивектор-ного пространства и учитывая нумерацию, введенную в § 1, получаем для матрицы выражение
MI N
RafrW =
N І —М
N =
M =
nU п12 nIZ ^21 ^22 ^23 ЯЗІ ^32 nZZ
TTlii TTli2t TTl I3 Ш2\ т22 т2В rriZi mZ2 rriZZ
fta? = nfra,
(a, P= 1,2,3),
(15)
где 2mH ~ а S пі і = О, в силу известного тождества Риччи, i=l 1
что и доказывает теорему. Заметим, что к такого рода матрицам, при дополнительном, однако, условии их ортогональности, пришел В. Ф. Каган при изучении группы лоренцовых преобразований [3]. Изучением такого рода матриц при том же предположении об ортогональности занимались Я. С. Дубнов [4] и А. М. Лопшиц [5]. Факт, доказанный предыдущей теоремой, имеет место для любого ортогонального репера, и, следовательно, учитывая, что ортогональный репер определяется при п = 4 с 6-ю степенями свободы, можно рассчитывать на дальнейшее упрощение матрицы за счет выбора 6 вращений.
