Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, в гравитационном поле евклидова геометрия не справедлива даже в первом приближении, если в качестве реализации одного и того же отрезка мы используем один и тот же стержень в разных местах и в разных положениях. Но соотношения (70а) и (69) все же показывают, что ожидаемые отклонения от геометрии Евклида слишком незначительны, чтобы их можно было заметить при измерении на поверхности Земли.
Пусть, далее, исследуется скорость хода эталонных часов, которые установлены неподвижно в статическом гравитационном поле. Для единичного интервала времени в этом случае имеем
ds = 1, dxx = dx2 = dx 3 = 0.
13-0919 194 А. Эйнштейн
Следовательно,
1 =
dXk = * = = 1 - іЦрі ,
1^1 + (^44-1) 2
или
J (И)
Итак, часы идут медленнее, если они установлены вблизи весомых масс. Отсюда следует, что спектральные линии света, попадающего к нам с поверхности больших звезд, должны сместиться к красному концу спектра Х).
Далее исследуем ход лучей света в статическом гравитационном поле. Согласно специальной теории относительности, распространение света описывается уравнением
— dx\ — dx 2 — dx з + dx\ = 0.
Следовательно, в общей теории относительности эта скорость определяется из уравнения
ds2 .= dx» dxy = 0. (73)
Если дано направление луча, т. е. отношения dxx : dx2 : dxs, то из уравнения (73) можно вычислить величины
іIx1 dx2 dxs
dx4 ' dx4 ' dx±
и, таким образом, скорость
/(ЖЇЧВЧІТ-v.
определяемую в смысле евклидовой геометрии. Легко видеть, что лучи света должны искривляться относительно координатной системы в случае, если g^v не постоянны. Если п — направление, перпендикулярное направлению распространения света, то из принципа Гюйгенса следует, что луч света [рассматриваемый в плоскости ('Y, п)] обладает кривизной —ду/дп.
Исследуем искривление, которое испытывает луч света, проходящий на некотором расстоянии Д от массы M (рис. 1). Если выбрать координатную систему так, как показано на рисунке, то общее искривление В луча света (положительное, если траекто-
В пользу существования подобного эффекта говорят, согласно Э. Фрейндлиху, спектральные наблюдения над звездами определенных типов. Однако окончательная проверка этого следствия не была еще предпринята. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 195-
рия луча обращена к началу координат своей вогнутой стороной) в достаточно хорошем приближении дается выражением
+ OO
— OO
причем из (73) и (70) получается
Вычисление дает
о 2а кМ (11л
Согласно этой формуле, луч света, проходящий мимо Солнца, испытывает отклонение в 1",7, а луч света, проходящий мимо планеты Юпитер, отклоняется приблизительно на 0",02.
Если вычислить поле тяготения с точностью до величин более высокого порядка и с соответствующей точностью вычислить
xI ,Луч сбета
л Рис. 1 X,
движение по орбите материальной точки с бесконечно малой массой, то получается следующее отклонение от законов движения планет Кеплера — Ньютона. Эллиптическая орбита планеты испытывает в направлении движения планеты медленное вращение, равное
є = 24я3 (75)
за время одного полного обращения планеты. В этой формуле й означает большую полуось, с — скорость света в обычных едини-
13* 196 А. Эйнштейн
цах, е — эксцентриситет орбиты, T — период обращения планеты в секундах 1).
Для планеты Меркурий получается вращение орбиты, составляющее 43" в столетие, что точно соответствует величине, установленной астрономами (Леверье). Астрономы на самом деле нашли, что некоторая часть общего движения перигелия этой планеты не объясняется возмущающим действием других планет и равняется указанной величине.
Интересующихся вычислениями отсылаем к оригинальным работам: A.Einstein, Sitzungsber. d. Berl. Akad., Bd. 47, 1915, Heft 2, S. 831 (перевод: А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, т. 1, «Наука», M., 1965, стр. 439); К. Schwarzschild, Sitzungsber. d. Berl. Akad. 1916, S. 189. (Перевод статьи Шварцильда см. в данном сборнике, стр. 199.— Прим. ред.) ВАЖНЕЙШИЕ РАБОТЫ ПО ТОЧНЫМ РЕШЕНИЯМ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА, ИХ КЛАССИФИКАЦИИ И УРАВНЕНИЯМ ДВИЖЕНИЯ
В ОТО К. ШВАРЦШИЛЬД
О ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОЙ МАССЫ В ЭЙНШТЕЙНОВСКОЙ ТЕОРИИ*
§ 1. В своей работе о движении перигелия Меркурия [1] г-н Эйнштейн поставил следующую задачу.
Допустим, что некая точка движется в соответствии с требованием
причем величины ^v суть функции переменных X, а при варьировании переменные x закреплены на верхней и нижней границах интеграла. Короче говоря, точка движется по геодезической линии в многообразии, характеризуемом линейным элементом ds.
Варьирование дает уравнения движения точки в виде
(1)
где
ds = V 2 gu.ydx]ldxv ([A, V- 1, 2, 3, 4),
d2xa _ V» Га ^v
2J iWdTIT
(а, ? = 1, 2, 3, 4)
(2)
V
* Schwarzschild К., Sitzungsber. d. Berl. Akad., 1916, S. 189. © Перевод на русский язык, «Мир», 1979 200 uf. Шварцшильд
где
-рСС 1 V I дЫ , ^Vg ^v \ /Qv
1Vv= -Y ZJ + • (3>
а ga? — миноры определителя I guv I, соответствующие компонентам ga? и нормированные на них.
