Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
ния (41)
дТа
-JL=-YLTI (57а)
Правая часть этого уравнения выражает энергетическое воздействие гравитационного поля на вещество.
Таким образом, уравнения гравитационного поля содержат четыре условия, которым должны удовлетворять материальные процессы. Эти условия и представляют собой уравнения материального процесса, если последний может быть описан четырьмя независимыми друг от друга дифференциальными уравнениями
Г. "МАТЕРИАЛЬНЫЕ" ПРОЦЕССЫ
Математические вспомогательные средства, изложенные в разделе Б, дают нам возможность сразу обобщить физические законы (гидродинамику, электродинамику Максвелла), сформулированные в специальной теории относительности, так чтобы они удовле-
Ср. Hilbert D., Nachrichten К. Gesellschaft d. Wiss. Gottingen, Math.-phys. Klasse, 1915, Heft 3, S. 395. (См. данный сборник, стр. 133. — Прим. ред.) ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 185-
творили общей теории относительности. При этом общий принцип относительности, не налагая никаких новых ограничений, дает возможность точно описать влияние гравитационного поля на все процессы без привлечения каких-либо новых гипотез.
Из этого обстоятельства следует, что не нужно вводить никаких предположений относительно физической природы вещества (в более узком смысле). В частности, может остаться открытым вопрос о том, смогут ли теория электромагнитного поля и теория гравитационного поля совместно служить базой для теории вещества. Общий постулат относительности в принципе ничего не может сказать об этом. В процессе развития теории выяснится* смогут ли электродинамика и учение о тяготении вместе дать тог что не удавалось одной лишь первой теории.
§ 19. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА ДЛЯ АДИАБАТИЧЕСКИХ ЖИДКОСТЕЙ В ОТСУТСТВИЕ ТРЕНИЯ
Пусть р ир — два скаляра, первый из которых назовем «давлением,», а второй — «плотностью» жидкости; пусть они связаны некоторым уравнением. Пусть, далее, контравариантный симметричный тензор
(58>
является контравариантным тензором энергии жидкости. Ему соответствует ковариантный тензор
dx dx?
T1HV= —g^P + gvi Р, (58a>
а также смешанный тензор ')
+ (586)
Подставив правую часть равенства (586) в уравнение (57а), получим гидродинамические уравнения Эйлера в общей теории относительности. В принципе эти уравнения полностью решают проблему движения, ибо четыре уравнения (57а) вместе с заданной зависимостью между р и р и соотношением
dxa
--dT-1
Для наблюдателя, который движется вместе с жидкостью и пользуется в бесконечно малой области координатной системой в смысле специальной теории относительности, плотность энергии Т\ равна р — р. Это и есть определение плотности р. Таким образом, для несжимаемой жидкости р не является постоянной. 186 А. Эйнштейн
достаточны при данных ga? для определения 6 неизвестных
dx-y dx2 dxg dx ^
Pl p' ~~dT• "Ж"» "Ж"» ~~5ГЖ
Если неизвестны также и ^v, то к прежним уравнениям присоединяются еще уравнения (53). Таким образом, для определения 10 функций ^v имеем 11 уравнений. Может показаться, что неизвестные функции переопределены. Между тем следует заметить, что уравнения (57а) уже содержатся в уравнениях (53), так что последние представляют не больше 7 независимых уравнений. Причина этой неопределенности заключается в широкой свободе выбора координатной системы, вследствие которой задача в математическом смысле остается неопределенной в такой степени, что три из пространственных функций могут быть выбраны произвольно х).
20. МАКСВЕЛЛОВЫ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ДЛЯ ВАКУУМА
Пусть (pv — компоненты ковариантного 4-вектора электромагнитного потенциала. Образуем из них, согласно (36), компоненты Fp0 ковариантного 6-вектора электромагнитного поля:
P _ 9Vo а /сих
**°—дГа---д^Г' ( }
Из соотношения (59) следует, что удовлетворяется следующая система уравнений:
dFPo , BFax , дРхр
= 0. (60)
дхх дхр дх0
Левая часть этого равенства, в силу (37), представляет собой антисимметричный тензор 3-го ранга. Таким образом, система (60) «содержит по существу четыре уравнения, имеющие вид
OFr з , ^84 OFi2
Oxi дх2 дх3
9F 34 , OFtl , »Ріг _
дхг dxs 1 Oxi
¦ ^F12 'OF2i
дх2 1 Oxi 1 Sx1
M12 I OFn I OFn _
со 1 дхх дх2
(60а)
0,
0
При отказе от выбора координатной системы eg = —1 свободно выбираемыми остаются четыре пространственные функции соответственно четырем произвольным функциям, которыми можно свободно распоряжаться при выборе координат. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 187-
Эта система уравнений соответствует второй системе уравнений Максвелла. В этом можно немедленно убедиться, если подставить
F 23 = ^14 = ^xt
Fbi = V F2, = е„ (61)
F12 = ^2 > F 34 = ez.
Тогда можно вместо (60а) написать в обычных обозначениях трехмерного векторного анализа
-g-+rote = 0,
div 1)=0. «**>
Первую систему уравнений Максвелла мы получим, обобщая уравнения Максвелла в форме, данной Минковским. Введем конт-равариантный 6-вектор
= (62)
соответствующий ковариантному Fa$, и контравариантный 4-вектор Ili плотности электрического тока в пустоте. В таком случае можно, приняв во внимание соотношение (40), написать следующую, инвариантную по отношению к любым преобразованиям «с определителем, равным 1 (согласно сделанному нами выбору координат), систему уравнений:
