Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Вообще теперь эйнштейновское приближение для орбиты переходит в точное решение, если только вместо г ввести величину
Так как отношение а Ir приблизительно равно удвоенному квадрату скорости движения планеты (в единицах скорости света), выражение в скобках отличается от единицы лишь на величину порядка 10~12 даже в случае Меркурия. Поэтому Лиг практически равны, и эйнштейновское приближение оказывается удовлетворительным с точки зрения самых далеких практических потребностей.
В заключение следует еще вывести в строгом виде третий закон Кеплера для круговых орбит планет. Для угловой скорости п — dy/df, согласно уравнениям (16) и (17), находим
и = ex2 (1 — ах), О ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОЙ МАССЫ 207
вводя x = HR. Если орбиты круговые, то производные dx/dq> и cPx/dq)2 равны нулю. Согласно (18), это дает
0 = ^ J1 +-^r ^2+ OCx3
0 = — + Зах2.
Исключая из этих двух уравнений h, находим
а = 2с2* (1 — ах)2.
Отсюда
U2 = -TrX3
a ~ а
2 2 R3 2 (г3-\-а3)'
Отклонение этой формулы от третьего закона Кеплера совершенно несущественно вплоть до самой поверхности Солнца. Но если взять идеальную точечную массу, то вблизи нее угловая скорость при уменьшении радиуса орбиты не возрастает безгранично, как это следует из закона Ньютона, а стремится к конечному пределу
(В случае точки с массой Солнца предельная частота составит IO4c"1.) Если молекулярные силы подчиняются подобным законам, то там это обстоятельство могло бы иметь значение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Einstein A., Sitzbungsber. d. Berl. Akad., Bd. 47, 1915, Heft 2, S. 831 (перевод: А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, т. 1, «Наука», М.> 1965, стр. 439). P. KEPP
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ МАССЫ КАК ПРИМЕР АЛГЕБРАИЧЕСКИ СПЕЦИАЛЬНОЙ МЕТРИКИ*
Голдберг и Сакс [1] доказали, что алгебраически специальные решения уравнений поля Эйнштейна в вакууме характеризуются существованием конгруэнции Jcll геодезических и бессдвиговых лучей. В число этих пространств входят волны с плоским фронтом и метрики Робинсона — Траутмана [2], для которых конгруэнция обладает отличной от нуля расходимостью, но является нормальной (ортогональна гиперповерхности).
В этой заметке мы приведем класс решений, для которых конгруэнция расширяется и вместе с тем необязательно нормальна. До сих пор был известен единственный пример такого рода — метрики Ньюмэна — Унти — Тамбурино [3], относящиеся к типу .D Петрова и обладающие 4-мерной группой изометрии. Введя изотропную комплексную тетраду, для которой
ds* = 2 ft* + 2 nk,
{звездочкой обозначается комплексно-сопряженная величина), можно выбрать такую систему координат, что
t = P(r + iA) dl,
fc = du + 2Re(Qd?), (1)
л = dr — 2R€ {[(г — і A) Q + ШД J dQ +
+ {rP/P + Re [P-2D(D* In P + Q*)] + a,
тде ? — комплексная координата, точкой обозначено дифференцирование по и, a D — оператор, определенный как
* Kerr R. P., Phys. Rev. Letters, И, 237 (1963). © Перевод на русский язык, «Мир», 1979. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ МАССЫ 209
Функция P действительна, тогда как Q и функция т (определенная как tyi1 + im2) комплексны. Все они не зависят от координаты г. Функция А определена как
Существует два естественных выбора системы координат: а) можно взять величину P равной единице, и тогда Q — комплексная величина; б) можно взять величину Q чисто мнимой, a P — отличной от единицы. В случае «а» уравнения поля имеют вид
Вторая система координат, возможно, лучше первой, но уравнения поля в ней имеют более сложный вид.
Можно видеть, что при т = 0 уравнения поля интегрируются. Тогда они дают пространства типа III и 0 с расходимостью, отличной от нуля. Если же ш =7^=0, то на уравнения (2) — (4) следует наложить некоторые условия интегрируемости. Их можно решить относительно tyi как функции величины Q и ее производных, когда
производная А или Q не равна нулю. Полученное выражение для т можно вновь подставить в уравнения поля, что дает условия для Q и ее производных, откуда можно вывести новые условия интегрируемости.
Если нулю равны обе производные А и O, то метрику можно привести к системе координат, в которой функция Q чисто мнима, a P ф 1, причем Q=P = O. Тогда уравнения поля принимают
OL> OLT -
Величины А, В, Q, не зависящие ни от м, ни от г, определяются соотношениями
А = Im (P~W*Q).
(іт - D*D*DQ) = I duDQ Im (m —D*D*DQ) = 0, D*m = 3 tyiQ.
(2)
(3)
(4)
W = у P-2V (Р-*д QIdQ-^~44f-V(lnP), V В = icdQ/dt,, J (A-iB) = cQ,
1
14-0919 210 P. Kepp
причем ? = ? + Щ- При с — 0 вектор діди является вектором Киллинга.
Среди решений этих уравнений одно — стационарное (с = 0) и вместе с тем аксиально-симметричное. Как и метрика Шварцшильда, которая является его частным случаем, оно относится к типу D. При этом В = 0, а т — действительная постоянная — шварцшильдовская масса. Эта метрика имеет вид
ds2 = (г2 + а2 COS2 0) (de2 + sin2 0 гіф2) +
+ 2 (du + a sin2 9 гіф) (гіг + a sin2 0 гіф) —
- ( :1- г2Cos2Q ) ^du + а Sin2 9 d^
где а — действительная постоянная. Переход к асимптотически декартовой системе координат осуществляется путем^преобразо-вэния
