Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Куранский Е. -> "Альберт Эйнштейн и теория гравитации" -> 66

Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.

Куранский Е. Альберт Эйнштейн и теория гравитации — Мир, 1979. — 592 c.
Скачать (прямая ссылка): albertenshteynteoriyagravitacii1979.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 205 >> Следующая


Таким образом, искомые уравнения свободного от вещества гравитационного поля во всяком случае должны выполняться, если все B9vi0x равны нулю. Но это условие заведомо требует слишком многого. В самом деле, гравитационное поле, создаваемое, например, материальной точкой, во всяком случае не может быть никаким выбором координатной системы «оттрансформировано», т. е. не может быть преобразовано к случаю постоянных g^v.

Поэтому представляется естественным требование, чтобы в свободном от вещества гравитационном поле обращался в нуль симметричный тензор Bviv, полученный из тензора B9vi0x. Таким способом получаются 10 уравнений для 10 величин ^jiv, которые выполняются в том частном случае, когда все B9vi0x равны нулю. Эти уравнения для свободного от вещества поля, в силу (44), при сделанном выборе координатной системы имеют вид

^ + r»?l1a = 0, (47)

/=7=1.

Следует отметить, что с выбором этих уравнений связан минимум произвола. Ведь, кроме Bviv, нет другого тензора 2-го ранга, который был бы составлен из g^v и их производных, не содержал бы производных более высокого порядка, чем второго, и был бы линейным относительно последних г).

Тот факт, что эти уравнения, вытекающие из общего принципа относительности чисто математическим путем, в соединении с уравнениями движения (46) дают в первом приближении ньютоновский закон тяготения, а во втором приближении — объяснение открытого Леверье движения перигелия Меркурия (остающегося после внесения поправок на возмущение), должен, по нашему мнению* убедить в физической правильности теории.

Собственно говоря, это можно утверждать только о тензоре Bvlv + ag), где X — константа. Однако, приравняв его нулю, мы снова возвращаемся к уравнениям B^iv = 0. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 179

§ 15. функция гамильтона для гравитационного[поля. закон сохранения импульса и энергии

Чтобы показать соответствие уравнений поля законам сохранения импульса и энергии, удобнее всего написать их в следующей гамильтоновой форме:

6{j#dT} = 0,

Я = йГГЙ>Г$а, (47а)

При этом на границах рассматриваемой ограниченной четырехмерной области интегрирования вариации равны нулю.

Прежде всего необходимо показать, что уравнения (47а) эквивалентны уравнениям (47). Для этой цели рассмотрим H как функцию от и (= dg^v/dxo). Сначала запишем

fx?OTva= —

Но

б onto = -4 б [>*» ^ + ) ].

Выражения, получающиеся из двух последних членов в круглых скобках, имеют разные знаки и получаются друг из друга путем перестановки индексов |л и ? (так как обозначение индексов суммирования не имеет значения). В выражении для бH они взаимно уничтожаются, будучи умножены на величину 1?, симметричную относительно индексов |л и ?. Таким образом, следует учесть лишь первый член в круглых скобках, так что, принимая во внимание равенства (31), получаем

Таким образом, имеем

дН

дН

— ГаоГр

— 1 pi?1 va?

(48)

— v°

Выполнив вариации в (47а), получим сначала систему уравнений

^a \ eg

12*

> / дН \ дН п 180 А. Эйнштейн

которая, в силу уравнений (48), совпадает с (47), что и требовалось доказать. Умножая (476) на g0v и принимая во внимание, что

дха дх0

и, следовательно,

Э I 9Н д Zuv дН \ дН

/ JH_\ = / JH_\ б° дха \ dg%v I 9ха \«<т dgU» I



получаем уравнение

или 4)

¦e dg»? / dxo

dt* _2-=:0

^Ovfa- o-nv dH SccPf

-ZWa-——^--Oa« ,

c7Sa

(49)

причем, в силу уравнений (48), второго уравнения (47) и формулы (34), должно выполняться соотношение

:' XfS = -Y CSgWI^fiTh - g^T^Tla. (50)

' Следует помнить, что to не является тензором; уравнение же (49) справедливо для всех координатных систем, для которых V—g = 1- Это уравнение выражает законы сохранения импульса и энергии для гравитационного поля. В самом деле, интегрирование этого уравнения по трехмерному объему V дает четыре уравнения:

IJ 4 dv} = J {tUi + t%a2 + fSa3) ds, (49а)

dx±

где ax, a2, a3 — направляющие косинусы внутренней нормали к элементу граничной поверхности dS (в смысле евклидовой геометрии). В этом соотношении, как нетрудно видеть, содержатся оба закона сохранения в их обычной форме записи. Мы назовем величины t% «компонентами энергии» гравитационного поля.

Представим теперь уравнения (47) еще в одной форме, особенно полезной для наглядного усвоения рассматриваемого вопроса. По-

1J Причина введения множителя —2х выяснится позже. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 181-

средством умножения уравнений поля (47) на gv<y этим уравнениям придается «смешанный» вид. Нужно принять во внимание, что

о-vor dTW __ д ZtfVara __ dgva усе

Эта величина, в силу (34), равна

-^r (^O- - ^rgarSv,

или (после изменения обозначения индексов суммирования)

Третий член этого выражения взаимно уничтожается с членом, получающимся из второго члена уравнений поля (47); вместо второго члена этого выражения можно, пользуясь соотношением (50), подставить

где t = ta> Итак, вместо уравнений (47) получается

д /^QWXv --/.a 1

і/"^=1.

(51)

§ 16. уравнения гравитационного поля в общем виде
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 205 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed