Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, искомые уравнения свободного от вещества гравитационного поля во всяком случае должны выполняться, если все B9vi0x равны нулю. Но это условие заведомо требует слишком многого. В самом деле, гравитационное поле, создаваемое, например, материальной точкой, во всяком случае не может быть никаким выбором координатной системы «оттрансформировано», т. е. не может быть преобразовано к случаю постоянных g^v.
Поэтому представляется естественным требование, чтобы в свободном от вещества гравитационном поле обращался в нуль симметричный тензор Bviv, полученный из тензора B9vi0x. Таким способом получаются 10 уравнений для 10 величин ^jiv, которые выполняются в том частном случае, когда все B9vi0x равны нулю. Эти уравнения для свободного от вещества поля, в силу (44), при сделанном выборе координатной системы имеют вид
^ + r»?l1a = 0, (47)
/=7=1.
Следует отметить, что с выбором этих уравнений связан минимум произвола. Ведь, кроме Bviv, нет другого тензора 2-го ранга, который был бы составлен из g^v и их производных, не содержал бы производных более высокого порядка, чем второго, и был бы линейным относительно последних г).
Тот факт, что эти уравнения, вытекающие из общего принципа относительности чисто математическим путем, в соединении с уравнениями движения (46) дают в первом приближении ньютоновский закон тяготения, а во втором приближении — объяснение открытого Леверье движения перигелия Меркурия (остающегося после внесения поправок на возмущение), должен, по нашему мнению* убедить в физической правильности теории.
Собственно говоря, это можно утверждать только о тензоре Bvlv + ag), где X — константа. Однако, приравняв его нулю, мы снова возвращаемся к уравнениям B^iv = 0. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 179
§ 15. функция гамильтона для гравитационного[поля. закон сохранения импульса и энергии
Чтобы показать соответствие уравнений поля законам сохранения импульса и энергии, удобнее всего написать их в следующей гамильтоновой форме:
6{j#dT} = 0,
Я = йГГЙ>Г$а, (47а)
При этом на границах рассматриваемой ограниченной четырехмерной области интегрирования вариации равны нулю.
Прежде всего необходимо показать, что уравнения (47а) эквивалентны уравнениям (47). Для этой цели рассмотрим H как функцию от и (= dg^v/dxo). Сначала запишем
fx?OTva= —
Но
б onto = -4 б [>*» ^ + ) ].
Выражения, получающиеся из двух последних членов в круглых скобках, имеют разные знаки и получаются друг из друга путем перестановки индексов |л и ? (так как обозначение индексов суммирования не имеет значения). В выражении для бH они взаимно уничтожаются, будучи умножены на величину 1?, симметричную относительно индексов |л и ?. Таким образом, следует учесть лишь первый член в круглых скобках, так что, принимая во внимание равенства (31), получаем
Таким образом, имеем
дН
дН
— ГаоГр
— 1 pi?1 va?
(48)
— v°
Выполнив вариации в (47а), получим сначала систему уравнений
^a \ eg
12*
> / дН \ дН п 180 А. Эйнштейн
которая, в силу уравнений (48), совпадает с (47), что и требовалось доказать. Умножая (476) на g0v и принимая во внимание, что
дха дх0
и, следовательно,
Э I 9Н д Zuv дН \ дН
/ JH_\ = / JH_\ б° дха \ dg%v I 9ха \«<т dgU» I
получаем уравнение
или 4)
¦e dg»? / dxo
dt* _2-=:0
^Ovfa- o-nv dH SccPf
-ZWa-——^--Oa« ,
c7Sa
(49)
причем, в силу уравнений (48), второго уравнения (47) и формулы (34), должно выполняться соотношение
:' XfS = -Y CSgWI^fiTh - g^T^Tla. (50)
' Следует помнить, что to не является тензором; уравнение же (49) справедливо для всех координатных систем, для которых V—g = 1- Это уравнение выражает законы сохранения импульса и энергии для гравитационного поля. В самом деле, интегрирование этого уравнения по трехмерному объему V дает четыре уравнения:
IJ 4 dv} = J {tUi + t%a2 + fSa3) ds, (49а)
dx±
где ax, a2, a3 — направляющие косинусы внутренней нормали к элементу граничной поверхности dS (в смысле евклидовой геометрии). В этом соотношении, как нетрудно видеть, содержатся оба закона сохранения в их обычной форме записи. Мы назовем величины t% «компонентами энергии» гравитационного поля.
Представим теперь уравнения (47) еще в одной форме, особенно полезной для наглядного усвоения рассматриваемого вопроса. По-
1J Причина введения множителя —2х выяснится позже. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 181-
средством умножения уравнений поля (47) на gv<y этим уравнениям придается «смешанный» вид. Нужно принять во внимание, что
о-vor dTW __ д ZtfVara __ dgva усе
Эта величина, в силу (34), равна
-^r (^O- - ^rgarSv,
или (после изменения обозначения индексов суммирования)
Третий член этого выражения взаимно уничтожается с членом, получающимся из второго члена уравнений поля (47); вместо второго члена этого выражения можно, пользуясь соотношением (50), подставить
где t = ta> Итак, вместо уравнений (47) получается
д /^QWXv --/.a 1
і/"^=1.
(51)
§ 16. уравнения гравитационного поля в общем виде
