Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
(г — ia) ei(p sin 0 = X + Iy1 Г COS 0 = Z, U = t + г, причем метрика принимает вид
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - dt2 + r42^2 (к)2, (5)
где
(г2 + a2) rk = г2 (х dx + у dy) + ar (х dy — у dx) +
+ (г2 + a2) (zdz + г dt).
Здесь г — функция, которая определяется уравнением
Г4 _ (Д2 д2) Г2 _ CL2Z2 = О, b2 = x2 jt у2 + Z2,
так что асимптотически г = R + О (R'1). В этой системе координат наше решение аналитично всюду, кроме точек R ~ a, z = 0.
Если метрику (5) разложить в степенной ряд по т и а, вплоть до степени 2 для т и 1 — для а, то из сравнения с приближением третьего порядка в теории Эйнштейна — Инфельда — Гоффмана для вращающейся частицы следует, что т — шварцшильдовская масса, а та — момент импульса относительно оси z1). В этом приближении высшие мультипольные моменты здесь отсутствуют.
1J В действительности при таком выборе знака а момент ориентирован в отрицательном направлении оси z.— Прим. перев. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ МАССЫ 211
Так как в точной теории нет инвариантного определения моментов, о них ничего нельзя более сказать, кроме того, что они малы. Было бы желательно отыскать внутреннее решение, чтобы получить больше информации на этот счет.
ЛИТЕРАТУРА
1. Goldberg /. NSachs R. КActa Phys. Polonica, 22, 13 (1962).
2. Robinson /., Trautman A., Prcc. Roy. Soc. (London), A265, 463 (1961).
3. Newman E., Tamburino L., Unti TJourn. Math. Phys., 4, 915 (1963). А. 3. ПЕТРОВ
КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ПОЛЯ ТЯГОТЕНИЯ*
В этой статье дается развернутое доказательство результатов, полученных нами ранее и впервые опубликованных в 1951 г. [1]. Именно, показывается, что для F4, определяющих поля тяготения, задаваемых формой
с фундаментальным тензором, удовлетворяющим уравнениям поля
{будем обозначать такие многообразия через Г4), можно установить классификацию, исследуя алгебраическую структуру тензора кривизны.
§ 1. БИВЕКТОРИОЕ ПРОСТРАНСТВО
Рассмотрим некоторую точку P нашего многообразия Г4 и сопоставим ему локальное центро-аффинное Ei. В этом Ei выделим все тензоры, которые удовлетворяют условиям: 1) число кова-риантных индексов, так же как и число контравариантных индексов, должно быть четным, 2) ко- и контравариантные индексы могут быть разбиты на отдельные антисимметрические пары. Каждую такую пару будем рассматривать как один собирательный индекс и будем его обозначать греческими буквами в отличие от индексов T74 и 2?4, для которых оставим латинские буквы. Таким образом, по числу значений, которые могут принимать собирательные индексы, мы получим многообразие N = п ~ измерения
* Ученые записки Казанского государственного университета им. В. И, Ульянова-Ленина, юбилейный сборник, 114, 55 (1954) (статья перепечатываете« с незначительными исправлениями).
ds2 = g Ijdxi dx*
(і)
Ru = Kgii
(2) КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 213
(6 измерений для п = A), причем тензоры E41 обладающие указанными свойствами, определят в этом пространстве тензоры вдвое меньшей валентности.
Можно утверждать, что каждой точке T4, таким образом, сопоставляется локальная 6-мерная центр о-аффинная геометрия с группой
Tf = ^frf, Tf = ^rf, м;>о, Ai-A9y=б?. (о)
В самом деле, если мы упорядочим собирательные индексы (выбирая при этом из двух возможных пар ij и ji одну), то получим шесть возможных собирательных индексов. Остановимся, например, на следующей нумерации:
1—14, 2—24, 3-34, 4-23, 5-31, 6-12.
Рассмотрим теперь преобразование составляющей Ti* некоторого, вообще говоря, непростого бивектора
Tify = AtjyTi5,
полагая
(где ^r=
получаем в собирательных индексах соотношение
Ta' = AaTa,
т. е. совокупность бивекторов Tn (размерность в этом вопросе не имеет значения) определяет в En совокупность контравариант-ных векторов при условии, что имеют место соотношения (3). Что касается этих соотношений, то они могут быть проверены непосредственно путем перехода к латинским индексам.
Будем называть полученное многообразие бивекторным. Особый интерес для дальнейшего будет представлять тензор кривизны J4. В бивекторном пространстве ему будет соответствовать симметрический тензор 2-й валентности
Rijkl —> Rafr = Rfa-
В каждом локальном E6 можно ввести метрику, используя для этой цели любой тензор Г4, обладающий свойствами
Mhlij = Mm = -Mjikl=-MijIb, 214 А. З. Петров
и при условии, что соответствующий ему двухвалентный тензор в S6 — неособенный. В качестве такого фундаментального тензора E6 возьмем тензор
Sihjl = gijgkl — gilghj gafi = g?<*. (4)
Легко видеть, что ga$ дает невырождающееся мероопределение, так как | gtj | Ф 0, а
Igcfil = Plgtjr, РФ0.
Для gij определенного ga$ также будет определенным, для неопределенного gij тензор ga$ также будет, вообще говоря, неопределенным. Отметим, что мы будем рассматривать далее лишь те поля тяготения, которые соответствуют реальному распределению материи в пространстве; для этого необходимо [2], чтобы в каждой данной точке Г4 фундаментальный тензор gtj в вещественной системе координат приводился к виду
