Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
Предварительно докажем теорему, резко сужающую число возможных на первый взгляд типов характеристик матрицы (14).
Теорема 2. Характеристика К-матрицы (14) всегда состоит из двух одинаковых частей.
Приведем матрицу (14) к более простому виду, пользуясь так называемыми элементарными преобразованиями, которые, как известно, не меняют элементарных делителей матрицы и, следовательно, ее характеристики. Изобразим эту матрицу в виде
mafr~\~ K^afr I
"a?
nafr 218 А. З. Петров
где Sa? — символ Кронекера. Прибавляя к каждому из трех первых столбцов соответствующий столбец из числа последних трех, умноженный на і, получаем эквивалентную матрицу
™a?+*"a?+#Oa?
"a?
прибавляя к последним трем строкам соответствующие строки из числа первых трех, умноженные на і, приведем матрицу к виду
™a?+i"a?+^a?
О
"a?
-Кб,
'a?
Наконец, умножая первые три столбца на у и прибавляя к последним соответствующие три столбца и затем проделывая то же самое над последними тремя строками, приходим к матрице
0 P(K) 0
0 0 P(K)
эквивалентной ^-матрице (14). Дело свелось к исследованию двух трехмерных матриц P (К) и P (К), соответствующие элементы которых комплексно-сопряжены. Но отсюда следует, что и элементарные делители этих двух матриц также комплексно-сопряжены, а, следовательно, их характеристики имеют одинаковый вид. Таким образом, характеристика нашей Х-матрицы распадается на две повторяющие друг друга части — теорема справедлива.
Отметим, что главные направления и инвариантные пучки Х-матрицы также должны быть попарно комплексно-сопряженными.
Теперь можно произвести классификацию полей тяготения, которую выражает следующая теорема.
Теорема 3. Существуют три и только три типа полей тяготения.
Трехмерная матрица P (К) может иметь только один из трех возможных типов характеристик: [1 1 1], [2 1], [3], если оставить в стороне случаи, когда некоторые из элементарных делителей имеют одинаковый базис и, следовательно, некоторые из цифр, стоящих в квадратных скобках, придется заключить в круглые скобки (например, [(И) 1], [(21)] и т. д.).
Характеристика P (К) должна иметь такой же вид. Тогда характеристики Х-матрицы будут записываться так:
1. [11, 11 11]; 2. [22, 11]; 3. [33],
где надчеркнутые цифры обозначают показатель степени для элементарного делителя с базисом, комплексно-сопряженным базису элементарного делителя, степень которого выражается предыдущим числом. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ 219
Каждый из этих типов полей тяготения в дальнейшем необходимо исследовать отдельно, причем особенно важно получить для каждого из этих типов канонический вид матрицы || Ra$ ||.
§ 3. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД МАТРИЦЫ || i?a? ||
Рассматриваем первый тип с характеристикой [11, И, 11]. Так как в этом случае характеристика — простого типа, то тензор i?a? имеет 6 неизотропных, взаимно-ортогональных главных направлений [6]. Эти направления бивекторного пространства в данной точке Г4 дадут бивекторы специфического строения, как это можно показать.
Обозначим составляющие векторов вещественного ортогонального репера в точке Г4 через (&, і = 1, . . ., 4), а простые
k
бивекторы I1Ij Qc ф Z), определяющие двумерные площадки, задаст г]
ваемые векторами репера, будем для краткости обозначать через В бивекторном пространстве эти простые бивекторы определяют 6 независимых, неизотропных взаимно-ортогональных координатных векторов Iа = 6а, и любой вектор R6, в частности и векто-
CT
ры главных направлений i?a?, может быть разложен по этим векторам.
Покажем, что в качестве векторов главных направлений (они определяются однозначно только в том случае, когда корни векового уравнения (12) различны) можно взять векторы вида
Wa = X ± f) + її (|а ± і|а) + V (|а ± «|а). (17)
В самом деле, условие того, что Wa определяет главное направление тензора Ra?, запишется в виде
(R^-Kgafl)Wfi = O. (18)
Но эта система 6 уравнений, в силу симметричной сдвоенности ,ЙГ-матрицы, сводится всего к трем уравнениям
(msi ±insl+k)X + (ms2±ms2)ii + (ms3±ins3)v==0(s===l, 2, 3).
Для того чтобы X, V были ненулевыми решениями этой системы, необходимо и достаточно, чтобы К было корнем одного из уравнений
I P (К) I = 0, I P (К) I - 0, (19)
т. е. корнем векового уравнения (12), что и доказывает теорему. 220 А. З. Петров
Вектору Wa (17) многообразия Rq в данной точке T74 будет соответствовать бивектор полного ранга
Wij = Klf ±i Iij) + ii(lij±i Iij) + V (Iij ± і . (20)
\14 23 J \24 31 ) \34 12 )
Нетрудно убедиться, что при любом ортогональном преобразовании (вещественном) Wlj переходит в бивектор того же типа,
Ж * *
причем Я, [і, v.-> К, [і, V, так что норма бивектора остается инвариантной:
K2 + Ii2 + v2 = K2 + + &
Пусть корням (12) К (5 = 1, 2, 3) соответствуют векторы главного направления Wcc; тогда корням К , согласно предыдущему,
S __5+3
должны соответствовать Wa, при надлежащей нумерации корней.
Корню К соответствует бивектор 1
1 1 V14 23 / 1 \24 31 ) 1 V34 12 )
