Альберт Эйнштейн и теория гравитации - Куранский Е.
Скачать (прямая ссылка):
TJ1=
1 2 Z1 I-Zf '
JLJ-ik. Г2 _ 1 1 д/2
2 Zi ' І21~~ 2 Z2 Cte1
Г22— 1 —' ^33— ^2(^ ^2)»
T^3 ___I__0J 2 . T^3 _ I х2 .
Аз1~ 2 /2 ^r1 ' Аз2~ ^ \-х\ '
Tti =
XJLIk 2 /2
IJL Mi
2 /4 Qx1
(остальные компоненты равны нулю).
Ввиду симметрии относительно поворотов достаточно записать уравнения поля лишь в экваториальной плоскости (х2 = 0), так что в предыдущих выражениях можно всюду заменить 1 — х\ единицей, так как предстоят лишь однократные дифференцирования. Все это приводит к следующим уравнениям:
а\ / і dfx \ і / і 0/1 \2 . / і а/, \21/1 ди \2.
' дхх Khdx1) 2 \ Zi / ^ Kf2 дхл) 2 \ /4 ; '
6^ аїГ =2 +7І77 •
в)
' у Z1 / Z1Z4 \ / •
Кроме этих трех уравнений, функции /2 и /4 должны удовлетворять еще условию для определителя
И і ІЧ ~ 1 итти 1 dfl 1 2 дІ2 I 1 d/4 _o
г) ' или тг^г+тг^г+т:^"-0-
Я сначала отброшу уравнение «б» и определю три функции /2 и /4, исходя из уравнений «а», «в» и «г». Уравнение «в» можно преобразовать к виду
в') д ( 1 dfI )= 1 dZi ^Z4
' \ Z4 ^z1 / /1/4 ^1 ^rі ' 204 uf. Шварцшильд
в котором оно непосредственно интегрируется и дает в") т~ r^r a/i (а — постоянная интегрирования).
/4 cfxI
Складывая уравнения «а» и «в'», получаем
JL M 1 0/d \ ( 1 ^/2 \2 , 1 / 1 ^/l, 1 \2 дхг \ U дхг ^ /4 Qx1 ) W2 / 2 Wi ^ U / '
Ввиду «г» отсюда следует
_2-L ( -L -1^) = 3(^-1^)2.
^r1 \ /2 ^r1 / \ /2 ^r1 /
Интегрированием получаем
1 = ~ X1 + у (Р — постоянная интегрирования)
TT "^Г
или же
1 0/2 _ 2
/2 ^r1 За^ + р ' Повторное интегрирование дает
/2 = А, (Зхх + р)2/3 (А, — постоянная интегрирования). Из условия на бесконечности следует A = I, так что
/2 = (3? + р)2/з. (10)
Далее отсюда и из уравнений «в"» и «г»
— aJ 1/4 — Tf
/I (3^! + р)2/з ' Интегрируя с учетом условия на бесконечности, имеем
и = 1 - a (3? + P)-1^. (11)
Наконец, из «г» следует
(3*x+p)-4/8
1 — а (За^ + р)"
и=. ? .:_V3 • (12)
Как нетрудно убедиться путем выкладок, найденные функции Z1 и /2 тождественно удовлетворяют уравнению «б».
Таким образом, выполнены все требования, кроме требования непрерывности. Функция терпит разрыв, когда
1 = a (3? + р)-1/*, Sx1 = а3 — р.
Чтобы этот разрыв совпадал с началом координат, следует положить
р = а3. (13) О ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ТОЧЕЧНОЙ МАССЫ 205
Стало быть, условием непрерывности устанавливается связь между постоянными интегрирования р и а.
Итак, полное решение поставленной задачи имеет вид
^ = f* = fs = R2'' /* = 1 ~a,R'
где R — вспомогательная величина:
R = (3si + р)1'3 - (г3 + а3)1/з.
Если теперь подставить найденные выражения для функций / в формулу для линейного элемента (9) и вернуться к обычным сферическим координатам, то получится линейный элемент, являющийся искомым точным решением эйнштейновской задачи:
- Д2 (do2 + sin2 Є гіф2), R = (г3 + а3)1/«. (14)
В него входит одна константа а, которая зависит от величины массы, находящейся в начале координат.
§ 5. Из самих проведенных нами вычислений видна единственность решения. Трудность же обнаружения этой единственности в приближенном методе, примененном г-ном Эйнштейном, явствует из следующего. Выше, еще до того, как было привлечено условие непрерывности, мы имели
f (3*х + РГ4/з = (г3 + Р)-4/з
1-а (За^ + р)-1/3 1 — а (г3 —|— р)—1^3
При малых значениях аир разложение в ряд с точностью до величин второго порядка малости дает
Это выражение (вместе с соответствующими разложениями функций /2, /з и /4) удовлетворяет в рамках данной степени точности всем требованиям задачи. Требование непрерывности не приводит ни к чему новому в таком приближении, поскольку разрывы здесь автоматически получаются лишь в начале координат. Поэтому создается впечатление, что обе постоянные аир произвольны и в физической трактовке задачи имеет место неоднозначность. Точное решение показывает, что в действительности в более высоких приближениях разрыв появится не в начале координат, а в точке г = (а3 — р)1/з, и приходится специально полагать а = р3, чтобы сместить разрыв в начало. В приближенных же расчетах нужно было бы уж очень внимательно следить за поведением коэффициентов при разложении по степеням аир, чтобы заметить необходимость такой связи между а и р. 206 uf. Шварцшильд
§ 6. Остается еще исследовать движение точки в гравитационном поле по геодезической, соответствующей линейному элементу (14). С учетом трех обстоятельств, а именно того, что линейный элемент однороден относительно дифференциалов, а его коэффициенты не зависят от координат t и ф, варьирование сразу же дает три первых интеграла. Если ограничиться движением в экваториальной плоскости (0 = 90°, ей) = 0), то эти интегралы запишутся в виде
(\ _ JM I dt \ 2 1 ( dR \ % I1 R ) \ ds ) 1 — a/R { ds )
-A2(A)2 = const = A, (15) R2^ = const -с, (16)
^ 1 —j ~ = const = 1 (задание масштаба времени). (17) Отсюда следует
(^+^('-1)=^-41-!)]
или, если обозначить MR через х,
(-?)--^+5-*-"+"* («>
Если ввести обозначения C2Ih = В, (1 — h)/h = 2А, то это уравнение в точности примет вид уравнения (11) в работе г-на Эйнштейна [1] и даст наблюдаемую аномалию в движении перигелия Меркурия.
