Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку как в естественных, так и в лабораторных условиях плазмаг как правило, не находится в термодинамическом равновесии, значительный интерес представляет задача о том, какой величины (и какого типа) отклонения от термодинамического равновесия допустимы с точки зрения устойчивости. В этой связи следует напомнить, что уравнение Власова справедливо лишь в течение более коротких, чем тс, промежутков времени, так что понятие устойчивости несколько относительно: неустойчивая плазма, в которой за время тс рост возмущений мал, практически может рассматриваться как устойчивая. Кроме того, уровень амплитуд, до которого нарастают неустойчивые волны, определяется резервуаром энергии, питающим неустойчивость. Ситуации, в которых волны нарастают только до допустимого уровня, также могут рассматриваться как устойчивые.
Термии «устойчивость» часто используется в довольно широком смысле. Грубо говоря, если небольшие возмущения приводят к малым эффектам, например, если небольшое локальное увеличение плотности заряда не влечет за собой значительного увеличения энергии поля, система называется устойчивой. Например, положение мяча в яме устойчиво (фиг. 155, а), а на горке неустойчиво (фиг. 155, б). Положения мяча на плато или на не-
ІСила тяжести
I Сила Y тяжести
V
а б з
Фиг. 155. Различные виды равновесия.
устойчивое; б — неустойчивое; в — безразличное; неустойчивость, насыщающаяся при небольших
отклонениях от равновесия.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
355
большой кочке вблизи дна ямы могут рассматриваться как устойчивые, поскольку мяч на плато не скатится слишком быстро (скорость роста неустойчивости мала), а вблизи дна ямы его энергия изменится лишь незначительно, даже если он и скатится. Величина полей, возникших в результате неустойчивости, определяет темп процессов переноса. Амплитуды допустимых флуктуаций различны в разных конкретных ситуациях, но, как правило, устойчивость плазмы связывается с некоторым предельно допустимым уровнем полей в плазме.
При изучении устойчивости плазмы используют два подхода. Первый, прямой, подход представляет собой анализ собственных колебаний, в котором развитие во времени малого возмущения вычисляется непосредственно с помощью уравнения Власова. Этот подход позволяет найти инкременты и показывает, какого типа волны являются неустойчивыми и могут наблюдаться в эксперименте. Несмотря на сложность решения уравнения Власова для произвольных возмущений, если геометрия не предельно проста, большинство результатов классической теории устойчивости получено таким путем. Другой подход—изучение неустойчивости, рассматриваемой как результат отклонения от термодинамического равновесия. Вообще говоря, только часть энергии неустойчивой плазмы может передаваться флуктуацион-ным полям. Эта часть называется свободной энергией; верхнюю границу свободной энергии можно вычислить на основе конкретных, справедливых для данной системы ограничений. От термодинамического подхода нельзя ожидать подробного анализа устойчивости, но с его помощью можно установить границу устойчивости и во многих случаях получить полезные оценки свободной энергии.
В данной главе мы будем применять при изучении одной и той же системы и анализ собственных колебаний, и термодинамический подход; это позволит сопоставить оба метода и получаемые с их помощью результаты.
§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ МОНОТОННО УБЫВАЮЩИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ. ТЕОРЕМА НЬЮКОМБА — ГАРДНЕРА [1, 2\
Оба подхода: термодинамический и метод собственных колебаний, можно использовать при решении задачи об устойчивости плазмы в отсутствие внешних полей, в которой равновесная функция распределения /а0 по скоростям монотонно убывает.
В присутствии электростатической волны, распространяющейся в направлении к, возмущенная функция распределения описывается, как было показано в гл. 8, выражением
/a = /ao+/al (v) ехр [І (k*X — С0?)], в котором частота о определяется уравнением
[l=Wpr-|+ (9-2.1)
— OO
Здесь функции Fa0 (и) представляют собой проекции распределений на направление к:
Fao(u)= j /во(V) б (u — jjjj) dv.
Контур интегрирования проходит ниже полюса и = со/1 к |. Если из (9.2.1) следует, что мнимая часть со* собственной частоты со = ог + ш* больше нуля (о* >0), то равновесная функция распределения /и0 неустойчива. Если же со* <0, равновесие является устойчивым и стационарным в течение времен, меньших времени между парными столкновениями т(.. Устойчивость монотонно убывающей функции распределения можно непосредственно доказать с помощью (9.2.1).
356
ГЛАВА 9
Записывая со — (ог + і о* и предполагая, что о* > 0, интегрирование
по скорости в (9.2.1) можно провести вдоль действительной оси скорости ZZt так как полюс и = (сог + ш*)/| к | лежит выше действительной оси. Поскольку распределение /а0 по предположению неустойчиво, о)г и о)< удовлетворяют равенству
тде F = Fe0 + (IUeImi) Fio. Приравнивая мнимую и действительную части этого уравнения нулю, мы получаем, что для любого его решения с (о* > О должны выполняться следующие два равенства:
