Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
361
a t=o
ОйлЯ.СТПЪ OOk/к
б t = Jrf1
Область /к
1 Ч»
в t-7xH
і о-
-V0(O) О V0(O) X(координата)
V (скорость) -—»>
Фиг. 159. Взаимодействие пучков холодных ионов, движущихся сквозь холодную (вначале) электронную плазму, [6].
Результаты получены моделированием на ЭВМ. Показана эволюция функции распределения в процессе развития неустойчивости. Время хн равно обратной величине максимального инкремента, вычисленного по линейной теории. Отношение масс электронов и ионов принималось равным TneZmi = 1/27; в начальный момент времени УУКе/теУЪ (0) = 1/25.
На фиг. 158, а показаны функции распределения (9.3.1) и область существования неустойчивых волн. На фиг. 158, б приведены графики зависимости инкремента Of от волнового числа.
Выводы кинетической теории двухпотоковой неустойчивости были детально подтверждены методом численного моделирования. В таком эксперименте ЭВМ вычисляет траектории заряженных частиц в плазме; эти траектории определяются реальным взаимодействием частиц между собой. Кинетическая теория, основанная на уравнении Власова, должна согласовываться с этими вычислениями, в которых прослеживается поведение отдельных частиц, по крайней мере в течение времен, малых по сравнению с тс. Как показано на фиг. 159—161, наблюдается хорошее согласие между кинетической теорией и непосредственным численным моделированием взаимодействия многих частиц.
Задача 9.3.1. Проверьте выражения (9.3.6) для частоты и инкремента наиболее быстро растущих ленгмюровских колебаний в плазме, образованной движущимися навстречу друг другу электронным и ионным потоками; покажите, что при максимальном инкременте частота о> записывается в виде со = к • V0/(l — Se±ijt/3), где S—вещественное число.
Задача 9.3.2. Покажите, что в системе координат, в которой ионы
ПОКОЯТСЯ, ИМеЮТ меСТО СООТНОШеНИЯ (0Г ^ (Oi (J)re.
На фиг. 159 (слева) показана функция распределения в различные последовательные моменты времени ?, начиная с t = 0. Эти распределения
362
ГЛАВА 9
Ще
meV02(0)
1,0
080
0,60
0,20
0,04
0,02 -
0,01
-0,002
не являются S-функциями скорости, но до тех пор, пока они не начинают перекрываться, их можно аппроксимировать выражением (9.3.1). Кинетическая теория предсказывает, что такое распределение неустойчиво. Моделирование на ЭВМ подтверждает это. Из фиг. 160 видно, что электростатическая энергия
волн (We = 2 Eft/8я) возра-h
стает с инкрементом порядка со,-, макс (9.3.6) и что энергия электронов увеличивается с такой же скоростью. Точки на фиг. 159 (справа) обозначают положение электронов в плоскости х, V. Возбуждаются, как видно из фиг. 161, одновременно много волн с различными волновыми числами; это объясняет, почему эффективная скорость
раскачки несколько меньше
максимального инкремента.
Наряду с подтверждением существования неустойчивости и вычисленного по линейной теории инкремента, из данных, приведенных на фиг. 159 и 160, следует еще один эффект, который можно было бы предсказать на основе линейной теории. С момента t — Hth (фиг. 159) электрон-ионное распределение должно быть устойчивым, поскольку, хотя пики в распределении остались, функция распределения F0 (и) = Fe0 + (те1ть) Fio стала монотонно убывающей. Как видно из фиг. 160, электростатическая энергия к этому моменту времени перестала нарастать, как и следовало ожидать согласно
теореме Гарднера (§ 2 настоящей главы). Нужно отметить, однако, что усло-
вия на функцию распределения, при которых эта теорема верна, не выполнены в более ранние моменты времени (например, в момент времени, соответствующий фиг. 159, в), поскольку распределение сильно меняется в про-
'Фиг. 160. Зависимость кинетической энергии электронов Wice (сплошная кривая) и полной энергии поля Wp (штриховая кривая) от времени.
Результаты получены моделированием на ЭВМ взаимодействия пучков холодных ионов с электронной плазмой (см. фиг. 159). Отношение mjm. принималось равным 1/100; в начальный момент времени (0) = 1/25.
5 9 13 17 Zl Z5 к
t=6rH
1 5 9 13 17 Zl Zb к
I = IHh
¦Фиг. 161. Зависимость энергии волн | Ek | 2/[8nmeV% (0)] от волнового числа к в различные моменты времени, полученная с помощью моделирования на ЭВМ (см. фиг. 159).
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
363
Фиг. 162. Функции распределения для двух холодных электронных пучков, движущихся навстречу друг другу на фоне холодных ионов.
странстве, а подменять истинную функцию распределения функцией, усредненной по пространству:
L
|/«(V)= { /а (X, V)-|g-,
-L
было бы неправильно.
Частным примером двухпотоковой неустойчивости, для которого дисперсионное уравнение может быть решено точно, является неустойчивость, возникающая, когда два электронных сгустка одинаковой плотности п0 пролетают один через другой с относительной скоростью V0 (фиг. 162). При этом ионы, благодаря которым система остается нейтральной, считаются неподвижными (об этом пренебрежении ионными потоками в случае высокочастотных неустойчивостей говорят как о приближении бесконечно большой массы ионов, (Opt —0). В этом случае дисперсионное уравнение (9.3.3) принимает вид [заметим, что сор = 4л (пе1 + пе2)(е2/те) = 2(Орв1 = 2(дреЛ