Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
^ 71? “Р (-1S5T - 4) +
+зд%№-‘Ы-^(*-т <9-«>
где (л)г = Ann1C2Imei Xdi = (Ann1C2IyiT1)~1, причем предполагается, что ккDi C 1* Напоминаем, что пучок в плазме представляет собой дополнительную группу частиц, движущихся в z-направлении.
Задача 9.4.1. Покажите [для проверки (9.4.4)], что
ехр( — теиЦ2кТе)] \
ІГ7+7І-------dvI =
|\Аехр (
kz Idvz \ J1XT2I Juz=o)r/|ftz|
Задача 9.4.2. Найдите Feo (и) и (о* в случае теплого пучка, если функция распределения имеет вид
X [exp j И+^+ (^z- 1^o)2] } +
-|- exp I — 2уТ2 "Ь “Ь "Ь ^®)21} J •
Первый член в выражении (9.4.4) описывает затухание Ландау, соответствующее максвелловской компоненте распределения. Оно не зависит от направления волнового вектора к. Второе слагаемое связано с дополнительным горбом распределения, отвечающим пучку. Предполагалось, что в пучке существует разброс только z-компоненты скоростей, и поэтому эффект от резонансных частиц проявляется лишь при (DrIkz = и. Если фазовая скорость волны (X)rIkz меньше средней скорости V0 частиц пучка, то пучок способствует нарастанию волны (распределение имеет положительный наклон). Частота ог « (ор<? не чувствительна к к при /dD<^ 1, так что фазовая скорость (X)rIkz определяется ВОЛНОВЫМ ЧИСЛОМ кг, Т. е. Уф « (Opelkz. Если ®rlkz>Vо, то частицы пучка приводят к дополнительному затуханию, наряду с имеющимся при всех иф затуханием, соответствующим максвеллов-
k -Vv [б (vx) 6 (V1f)
(Ог
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
367
ской компоненте. Будет ли волна расти или затухать при некотором сог/&2 < V0, определяется тем, какое из двух слагаемых в (9.4.4) больше; если второе (при ЭТОМ суммарное распределение /максвелл + /пучка = /аО имеет положительный наклон), то распределение неустойчиво относительно раскачки этой волны.
Нетрудно усмотреть, что максимальное дестабилизирующее влияние пучок оказывает при
к о
= 1 + ]/ -?-.
При этом максимальное значение (Oi (условие положительности которого дает критерий неустойчивости) для плазмы с теплым пучком дается выражением
= l/" — ^ Cl) Г nZ 3 , meVl /___1_\
У 8 Ic3Kn і ;и I. "I T2 к Adi XT1 ехр I г)
k3>ki)i
— ехр (-------------\ 1 >0 (неустойчивость теплого пучка). (9.4.5)
V 2Zc2Xdi * / J
Из (9.4.5) ясно, что если пучок слишком размыт по скоростям, распределение плазмы устойчиво (поскольку оно монотонно убывает). Чтобы получить неустойчивость, нужно, согласно (9.4.5),
1) увеличить число частиц в пучке, т. е. увеличить Ji2In1;
2) сузить пучок, т. е. уменьшить T2IT1 и сделать его распределение более похожим на б-функцию;
3) увеличить скорость частиц пучка, т. е. увеличить тУ\ЫТх.
Поскольку kXD < 1, затухающий член ехр (—1/2 &2^di) дает минимальный
вклад для волн с малыми к. Однако слагаемое, благодаря которому неустойчивость возрастает, дает вклад при кг ж (ор1/У0; поэтому &, будучи больше к2, не может быть меньше (X)vlIV0. Таким образом, самыми неустойчивыми оказываются волны, распространяющиеся параллельно движению пучка.
Сравнение (9.4.5) с (9.3.10) показывает, что неустойчивость плазмы с достаточно сильно размытым пучком развивается значительно медленнее, чем двухпотоковая неустойчивость в плазме с двумя пучками холодных электронов, поскольку
(О. „ ~l/jLo) ,-1/2
шг, теплый пучок ~ I/ о п ^ >
1 2 (9.4.6)
^ Wpe. / «2 \ i/з
два холодных пучка ~ \ ^i1 /
Если же неустойчивость плазмы с теплым пучком вызывается одним из трех указанных выше способов, то в конце концов неустойчивость превратится в двухпотоковую. Наиболее неустойчивыми являются системы, в которых тепловой разброс VyiT2Ime^V0.
Нелинейный режим развития рассмотренной неустойчивости хорошо изучен. Соответствующие результаты мы изложим В ГЛ. 10.
Задача 9.4.3. Почему в пределе T2-*-0 выражение для (Oi в случае теплого пучка в (9.4.6) не переходит в (Oi для двух холодных пучков?
Следует заметить, что существенный момент в нашем рассмотрении состоит в том, что мы изучали пучок на хвосте максвелловского распределения [интегрирование в (9.4.2) было выполнено только для волн с (ог/& > > VKT1Ime]. В § 6 настоящей главы мы покажем, что существование области,, где i?d/0/diC>0, представляет собой необходимое, но вовсе не достаточное ус-
368
ГЛАВА 9
ловие неустойчивости, и небольшой горб, находящийся в пределах теплового разброса скоростей плазмы Y7iT1Imey не приводит к неустойчивости.
Задача 9.4.4. Покажите, что полученные выше результаты приближенно верны и для распределения, имеющего максимум лишь вблизи +F0:
t (тг)" е_ +1 №)т 6 ы6 ы (94.7)
/го= б (vx) б (Vy) б (г;2).
Оцените ошибки, возникающие из-за пренебрежения равновесным током и магнитным полем в (9.4.7).
§ 5. МЕХАНИЗМ ДВУХПОТОКОВОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Нетрудно понять, почему плазма с функцией распределения, имеющей несколько максимумов, может быть неустойчива, если вспомнить вывод затухания Ландау, приведенный в гл. 8. Знак мнимой части о зависит при этом от наклона функции распределения (фи . 165).
В самом деле, затухание Ландау обусловлено тем, что в устойчивой плазме число частиц со скоростями, несколько меньшими сог/&, превышает число частиц со скоростями, несколько большими (ог/&. Обратная картина наблюдается для неустойчивых волн в плазме с функцией распределения типа изображенной на фиг. 165. Представление о числе резонансных частиц при рассмотрении неустойчивости двух холодных пучков оказывается непригодным, поскольку в этом случае нет частиц, скорости которых близки фазовой скорости неустойчивой волны. Такие неустойчивости относятся к нерезонансным: их инкремент не пропорционален числу частиц с и = сог//с.
