Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Инкремент двухпотоковой неустойчивости можно получить из уравнения Власова; кроме того, существует и другой довольно общий метод анализа такой неустойчивости без прямого вычисления инкремента. В данном параграфе мы используем оба эти метода.
Двухпотоковая неустойчивость с успехом используется в усилителях бегущей волны [3]; ей же приписываются неудачи в осуществлении некоторых идей в области управляемых термоядерных реакций [4, 5].
Эта неустойчивость имеет прямое отношение к методам нагрева плазмы, в частности к турбулентному нагреву. В качестве первого примера рассмотрим плазму в отсутствие полей со следующей равновесной функцией распределения:
{го== к(Л-Уо)’ <9-зл)
/e0=8(v).
Под действием электростатического возмущения в этой системе возбуждаются колебания вида частота которых, согласно (8.9.6), определяется нулями диэлектрической проницаемости
0=1 = <э-3.2)
a
где распределения имеют вид
Fio = S ^ U—для ионов,
Feo = б (и) для электронов,
а путь интегрирования, как объяснялось в § 4 гл. 8, лежит ниже полюса
и = со/1 к |. Интегрирование в (9.3.2) с б-функциями проводится элементарно
и приводит к следующему дисперсионному уравнению:
+ <9-3-3> На фиг. 157 изображена зависимость правой части уравнения 1) (9.3.3) от со. Вещественные корни определяются по пересечению кривой (фиг. 157) с горизонтальной штриховой прямой, проходящей через 1 на оси ординат. Когда ордината А локального минимума меньше 1, уравнение (9.3.3) имеет четыре вещественных корня. Если же А больше 1, имеются два вещественных и два комплексно-сопряженных корня, один из которых соответствует неустойчивости. Минимум А находится в точке
(DA=It-V1
Г ((Ор„/(йр;)2/3 1
I- (wW(Opi)2/3 +1J
1J Исследование уравнения такого типа подробно проведено в гл. 5.— Прим. ред.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
359
•Фиг. 157. Графики правой и левой частей дисперсионного уравнения для колебаний в двух-
потоковой плазме
2 2 А СOpe , COpi
~ "со2" (k-V0-CO)2 *
Показана устойчивая ситуация, когда все четыре корня вещественны.
Если бы электроны и ионы имели одинаковые массы, то положение минимума А находилось бы в точке соА =V2 k -V0 и при уменьшении к (V0 = const) неустойчивость впервые проявилась бы для волны, скорость которой равна полусумме скоростей двух потоков. В такой формулировке этот вывод не зависит от системы отсчета, в которой наблюдается развитие неустойчивости. При произвольных массах частиц пучков скорости неустойчивых волн лежат лежду скоростями пучков.
Условие неустойчивости состоит в том, что при со = (оА правая часть в (9.3.3) больше 1, и может быть записано в виде
Г / ®pi \ 2/3 —.3/2
I к»V0 I < (Орр I -J- у —— j J (критерий двухпотоковой неустойчивости). (9.3.4)
COpi ^ 2/3 —13/2
°ре
Поскольку здесь не важен знак заряда, критерий (9.3.4) можно также применить к двум электронным потокам на нейтрализующем фоне неподвижных ионов, если заменить (ор*/(оре на (оре1/(оЛР2. Условие (9.3.4) можно было бы получить также и из гидродинамических уравнений.
Неравенство (9.3.4) особенно легко удовлетворяется для длинноволновых колебаний при достаточно малой скорости потока F0, а также если гребни волн пространственного заряда почти параллельны потоку, т. е. при k-V0 <С I к I V0. Однако, если k-V0 становится много меньше порогового значения, определяемого критерием (9.3.4), инкремент Oi становится малым. Кроме того, при достаточно малой скорости V0 становится существенным тепловой разброс скоростей. В самом деле, никакой реальный пучок не обладает распределением (9.3.1); этим распределением можно приближенно пользоваться для волн, фазовая скорость которых (в системе пучка) значительно превосходит тепловой разброс по скоростям.
Таким образом, для применимости проведенного расчета двухпотоковой неустойчивости необходимо выполнение условий
k V
к к
Тепловые эффекты мы учтем в явном виде в § 6 настоящей главы.
360
ГЛАВА 9
Хотя критерий устойчивости удается получить из (9.3.3) в явном виде, общее решение уравнения (9.3.3) для о (к) не может быть найдено аналитически. Однако нетрудно показать1), что максимальный инкремент имеют волны с
k* V0 « (Ope (условие максимального инкр?мента электрон-ионной двухпотоковой
неустойчивости). (9.3.5)
Из (9.3.1) можно видеть, что V0 есть скорость ионного потока, так что волна движется примерно со скоростью ионов (см. также задачу 9.3.2). Решение дисперсионного уравнения для волн с максимальным инкрементом имеет вид
(О :
:СО„е + в±2я*/3 (^)
1/3
(О
ре
Электроны (fe0)
Ионы (fLo)
-)1/3]. (9.3.6)
Область существования неустойчивых волн си/\к\
а
Кривая
Tl v°
Te (хТе/те)Я
OJOl JfAlA
2.83 5,66 1,7 2,12
2.83 3,85
kV^/cope
Фиг. 158. Функции распределения для холодного ионного пучка, движущегося со скоростью V0 относительно холодных электронов (а), и кривые зависимостей инкремента от относительной скорости при различных температурах электронов и ионов (б) [5].
*) Например, разрешив (9.3.3) относительно к.— Прим. ред.
