Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
1
1
2
ClУре
1
2
(Ope
COpi
2 (со — kV0/2f п 2 (o)+/cF0/2)2
CO2
(9.3.7)
причем последним членом МОЖНО пренебречь, ПОСКОЛЬКУ (О2 (Opt.
Уравнение (9.3.7) является квадратным относительно со2. Его решение записывается следующим образом:
2
COpe
2 ,
к2 V 2
(9.3.8)
Критерий неустойчивости, соответствующий (9.3.7) (в пренебрежении (Opi), имеет вид
I kV0 I <^l -f- ( ^pei- j / J3/ =2(0ре (для двухпотоковой неустойчивости). (9.3.9)
Этот критерий можно получить так же, как (9.3.4), а можно и непосредственно из (9.3.8). Инкремент падает до нуля при V0 °°, а максимальный инкремент
(Opg
с — —у=, (максимальный инкремент неустойчивости двух (9.3.10)
V8
электронных потоков)
(О,
364
ГЛАВА 9
Фиг. 163. Зависимость частоты (сог) и инкремента ((Oi) плазменных волн от волнового числа к для двух холодных электронных пучков, движущихся со скоростями ±Vj2
на фоне холодных ионов.
достигается для волнового числа, удовлетворяющего равенству
3
JcVq = -7=(0ре (длина волны наиболее быстро нарастающей (9.3.11) неустойчивости двух электронных потоков).
Помимо существования длинноволновой неустойчивости (kV0 < оэре), двухпотоковая плазма отличается от обычной плазмы (без потоков) своими диэлектрическими свойствами. Это видно из дисперсионных кривых (сплошные линии на фиг. 163) для ленгмюровских колебаний в двухпотоковой плазме при сравнении их с кривыми о (к) для случая холодной плазмы (кХв 0) с одногорбой функцией распределения (штриховая линия на фиг. 163), в которой оба сорта частиц покоятся. Правая ветвь описывает новый класс мод с коротковолновой асимптотикой (со « kV0/2), частоты которых вещественны только при I k I > 2(оре/| V0 |.
Задача 9.3.3. Что происходит с рассмотренными новыми модами при F0-^O?
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕМОНОТОННЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В ГОРЯЧЕЙ ПЛАЗМЕ. НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПУЧКА С ТЕПЛОВЫМ РАЗБРОСОМ СКОРОСТЕЙ
Неустойчивость холодных пучков могла бы быть рассчитана в рамках гидродинамической теории. Однако возникает вопрос, при какой температуре пучков гидродинамика неприменима. Ответ нетрудно получить из фиг. 158. Когда тепловой разброс пучков по скоростям достаточно велик, мы должны учитывать влияние резонансных частиц, имеющихся в области неустойчивых волн, которые движутся со скоростью волны. Это влияние описывается полюсами Ландау в интегралах по скоростям, определяющих диэлектрические свойства плазмы.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
365
4- {ехр [
Фиг. 164. Функция распределения электронов в случае теплого электронного пучка, движущегося сквозь плазму с максвелловским распределением электронов со скоростью, превышающей тепловой разброс, FJ > 2кТе1те*
В отличие от ранее рассмотренной пучковой неустойчивости рассмотрим распределение электронов, обладающее небольшим горбом в хвосте максвелловского распределения (фиг. 164) и описываемое выражением
/»=I=T (*? Г е’р (- -ш+^6 M8 M 5?)1'2 X
р-4-1)
Tie = щ +п2у и2, T2^T1, F0 > ,
те
fi0 = b (vx) 6 (Vb) 8(vz).
Выбор функции fe0, симметричной по и (относительно У0)» гарантирует отсутствие в равновесном состоянии плазмы токов и магнитных полей. В итоге рассматриваемая задача упрощается (задача 9.4.3).
Колебания плазмы с теплым пучком описываются нулями диэлектрической проницаемости (9.3.2). Предполагая, как это делалось при вычислении затухания Ландау (§ 6 гл. 8), что собственная частота со почти вещественная, и разлагая D (к, со) вблизи со = сог, нули функции D (&, со) можно найти, решая уравнения
Di (к, (Or)= -я 2
^Opa OFа0
/с2
ди
и=(or/lkl 9
(9.4.2)
CO; =
Di (к, сог)
соре dFaQ к2 ди
u=cy|k|
ODrJd сог ODrId сог
Хотя интеграл в выражении для Dr не столь прост, как в случае распределения в виде б-функции, его можно приближенно записать для волн
du
с со/1 к У’2кТ1/те следующим образом:
? dF*o,du du ~ С /lkl к*и \к\к*и* \
cJcor/ к 1-й ~ J ди \ (Or “Г со* + ^
(такое же разложение использовалось при вычислении затухания Ландау в гл. 8).
(9.4.3)
366
ГЛАВА 9
Вещественная часть диэлектрической проницаемости Dr (к, сог) дает отклик основной массы частиц плазмы на электрическое поле плазменной волны. Инкремент (или декремент) (Oi определяется влиянием группы частиц, находящихся в точном резонансе с волной.
Используя ЭТО приближение ДЛЯ Dr И учитывая, ЧТО (Opi (0ре гс2»
можно получить частоту собственных колебаний в плазме, описываемой распределением (9.4.1):
(О*«<05, (1 + 3/с2ХЬі).
Таким образом, собственные частоты в случае распределения, мало отличающегося от максвелловского, практически такие же, как для максвелловского. Различие проявляется в знаке мнимой части частоты, который определяется производной F0 при значении скорости, равной фазовой скорости волны и = (ог/| к |, так что колебания плазмы с распределением (9.4.1) могут нарастать. Для рассматриваемого распределения плазмы с теплым пучком (9.4.1) нетрудно получить (по-прежнему полагая, что лишь малая доля частиц и энергии содержится в пучке, т. е. U1 тг2, Yi1TiT1^ n2mc,Viy следующее выражение для (о*:
