Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 8.16.2. Убедитесь, что решение (8.16.7) оправдывает предположение о том, что при его получении можно пренебречь членом /2 соса.
Задача 8.16.3. Покажите, что дрейфовая волна (8.16.7) слабо затухает, и найдите ее декремент затухания.
16.2. Низкочастотные дрейфовые волны, распространяющиеся под косым углом к B0
Снова пренебрегая членами с I Ф 0 в а также вновь решая диспер-
I
сионное уравнение для волн с о > kVD и опуская поэтому величину куеи2±/2(дса в знаменателе (8.16.5), дисперсионное уравнение (8.16.5) можно записать следующим образом:
_*._s^[i+/,(«)„P(_«)(1+?5t)x
x^l/^-5= [ ---------g~*~dx I . (8.16.8)
* 2иГ т/я J х — (о>/| ки I) Л/т12у.Т Ja ' '
I /сц I У 2кТ J х — (со/| /гц j) "і//??/2x7і Ja Входящий в это уравнение интеграл
(8-)в'9)
— оо
довольно часто встречается в теории волн, распространяющихся в максвелловской плазме, и для него существуют таблицы [11]. В пределе больших и малых значений аргумента
Г -2l + ±?-... + iVne-l\ IiKl,
і і з (8.16.10)
I ? 2?3 4?5 * * *’
Параметр ?a равен отношению фазовой скорости волны (cd/ | к\\ |), параллельной B0, к тепловой скорости частиц Y2KTJma. Интересный класс дрейфовых
волн представляют волны с фазовыми скоростями, параллельными B0, значения которых меньше тепловой скорости электронов, но больше тепловой скорости ионов, т. е. Ii 1, а Ee <1*
344
ГЛАВА 8
Для этих волн из дисперсионного уравнения (8.16.8) имеем
где
/TljCOci
Заметим, что мнимая часть частоты со возникает из-за резонансного взаимодействия этих волн с электронами.
Задача 8.16.4. Покажите, что (8.16.11) является правильным решением уравнения (8.16.8) для волн, фазовые скорости которых находятся в интервале
проверьте правильность решения (8.16.11) и найдите поправки от ионов.
Дрейфовые волны (8.16.11) обладают следующими свойствами:
1. Фазовая скорость соIky сравнима с гидродинамической скоростью Va.
2. Фазовая скорость, параллельная B0, больше поперечной фазовой
сти градиента плотности).
3. Эти волны неустойчивы. Из (8.16.11) видно, что мнимая часть со положительна и волна
нарастает с инкрементом ~сог.
Энергия таких волн, раскачиваемых токами частиц, существующими вследствие неоднородности равновесных величин п (х) и В (#), увеличивается благодаря градиенту плотности (х). Вместо затухания Ландау имеет место раскачка Ландау!
Систематическое изучение неустойчивостей мы проведем в гл. 9. Рассмотрение дрейфовых волн, которые естественным образом возникают при исследовании волновых свойств неоднородной плазмы, показывает, что не только существуют моды, отражающие специфические свойства равновесного состояния, но к тому же моды эти могут расти за счет нетермодинамических свойств квазиравновесного состояния. Поскольку в реальной плазме как в лабораторных, так и в естественных условиях всегда есть градиенты плотности, связанное с ними нарастание волн получило название универсальной неустойчивости.
В гл. 5 мы подробно обсудили связь между дрейфовыми, альфвеновскими и ионно-звуковыми волнами, и читатель может теперь строго на основе кинетической теории получить все результаты, начиная рассмотрение с выражений (8.15.22) для возмущенной функции распределения.
Задача 8.16.5. Используя приближение Dr (к, (ог) = 0, (Oi =
Di (/с, (Or)
— dDr/d(Or »
скорости, поскольку со/1 к\\ I > V^TiImi, а со/А:v < VyiTiImi (в силу мало-
E1 = Ek exp [i (k*х —(о?)] « Ek ехр [і (к*х — (ог?) ехр (сог?)]
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
345
§ 17. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ (БГК-ВОЛНЫ)
Бернстейн, Грин и Крускал [12] обнаружили широкий класс равновесных распределений, в которых частицы играют главную роль при нахождении равновесных полей. Их идея состоит в том, например, что локализованный (положительный) потенциал можно согласовать с локальным избытком плотности электронов. В самом деле, если распределение частиц по кинетической энергии непрерывно, часть частиц будет заперта в ямах положительного потенциала. Выбирая число и знак заряда запертых частиц, можна найти самосогласованное распределение частиц почти для любого распределения потенциала. Даже если запертые (локализованные) частицы отсутствуют, все еще возможно найти большие потенциалы ф (х), самосогласованные с распределением частиц, но величина потенциала будет при этом ограничена минимальной кинетической энергией частиц заданного распределения ?фмакс С 1UmvUiin- Поскольку в таких равновесных конфигурациях существуют неоднородные электростатические поля, их называют волнами, хотя этот термин является чересчур ограничительным.
Теория Бернстейна — Грина — Крускала строится в рамках уравнений Власова — Максвелла, поскольку ее основная идея состоит в том, чтобы учитывать детали функции распределения частиц. Стационарное состояние^ включающее электростатические поля, можно найти, если положить dfjdt = = 0 и ф0 Ф 0. В одномерном случае уравнения для /а (х) и ф {х) записываются следующим образом:
у d/g Яд дф Ofa q
х дх та дх Ovx ’
