Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 8.15.4. Найдите дисперсионное уравнение для низкочастотной
чисто электромагнитной дрейфовой волны, распространяющейся перпендикулярно удерживающему полю B0:
А /ч /ч
k = X k± cos г|) + У k± sin г|) + z &ц.
(8.15.22)
Дальнейшее упрощение можно провести, используя равенство
УУ'/«о(Я, L) = ^Vv^ + r%^Vv.L,
к = Ay, E1 = Ehei(-hy~(ai')z, a)<^(dci.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
341
§ 16. НИЗКОЧАСТОТНЫЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ
Плазма с градиентом плотности (удерживаемая магнитным полем) описывается, как обсуждалось выше, функцией распределения (s' = Se = є*)
(-?) t1-*' (*+?)] ¦ <8161>
причем
B0= ZB0(I-I-ея). (8.16.2)
Для того чтобы /ао и B0 были самосогласованы, из уравнения Максвелла
V X B0 = 4nJ0/c следует условие
= -----JL (8.16.3)
Є Ал у, n^Ta P
Таким образом, в холодной плазме относительный градиент плотности больше относительного градиента магнитного поля. Низкочастотные электростатические возмущения (со (Осі, B1-^O) распространяются в такой плазме
в виде волн. Согласно (8.15.22), возмущенная часть функции распределения *
связанная с этими волнами, имеет вид
».*+?) J
l,m -оо
2
X ехр [і (I — пг) (г|) — 0)] ехр [г (йцуц + ку “ + 1шс*) т] йт;
здесь аргументом функций Бесселя Ji и Jm является U1V1Iсоса> а функция
/а0 вынесена из-под знака интеграла, поскольку, как было сказано выше,
она зависит только от интегралов движения [/а (Я', L9) = /а (Я, L)]. Электрическое поле волны определяется выражением
од = 2 ***. + +
а а I
,к KTa tel ^(УХ/Мса)/ао(^1, V ty)dv\ /8.16.4)
v ma аса J I11 kytv± f ’
Vll + toc“ + “2^---w J
при выводе которого было использовано тождество
о о
j ik*v ехр (ік-х— ісот) dx = I + ко j exp (ik*x—ісот)йт;
-OO -OO
кроме того, /а0 было взято в виде (8.16.1), а двойная сумма функций Бесселя упрощается с помощью равенства
2 \ (в —\p)]d\ =
Z,m
= 2 I v±JiJmexj)[i (I — m) (0 — г|))] dv± dddvz = 2 j V1J2 dvzdQ dv±.
Zt m I
Из уравнения (8.16.4) можно получить дисперсионное уравнение для электростатических дрейфовых волн (пренебрегая членами ~є'/& из-за
342
ГЛАВА 8
малости градиентов):
(8.16.5)
Теперь, учитывая локальное приближение, нужно положить в (8.16.5) х = 0. Как видно из (8.16.5), удержаны члены первого порядка по дрейфовым и гидродинамическим скоростям. Дрейф из-за V# учтен в члене JcyBv2Jсос, присутствующем в знаменателе (8.16.5). Этот член описывает резонанс <о ^ UyZV2J2(оса = kyVD в интеграле по скоростям для волн с фазовой скоростью v$ = (d/Zc, равной скорости дрейфа. Гидродинамическая же скорость [ —e' = (IIn) (dn/dx)]
>у __ I dn
mOL^ca ^ dx
присутствует в числителе (8.16.5).
Задача 8.16.1. Проверьте уравнение (8.16.4). Покажите, что в этом уравнении член 1&Чк происходит от интеграла ^Ji Jm (vy/(dc) dQ.
Дисперсионное уравнение (8.16.5) описывает как обычные ленгмюров-ские колебания, так и циклотронные волны (это нетрудно показать, опустив члены с е и є'); чтобы выявить новые свойства, внесенные дрейфами, полезно рассмотреть несколько частных случаев.
-*2=2
2
mGCc0PCt
КТ (V
л (
k±vi
16.1. Низкочастотные дрейфовые волны, распространяющиеся
поперек B0 в плазме с низким P (со <С Oei, &ц = 0, к = /су)
В этом случае в уравнении (8.16.5) стоящие под знаком суммы 2 члены,
і
для которых I Ф 0, малы по сравнению с членом при Z = O (малость порядка (o/Z(oca), и их можно опустить. Пренебрегая также в знаменателе этого уравнения слагаемым, пропорциональным Vd = evJ2(oca, можно найти решение, для которого о)/к ж Va ж (2/р) Vd ^ Vd, что оправдывает пренебрежение членом Bv2J2 соса. С учетом этих приближений дисперсионное уравнение записывается в виде
-к2 = у. Tl-Z0 Wxp ( — (1 + ЇІ2. —)1 ; (8.16.6)
^ x^a L '(DcaWa' ' Wca^a' ' m(x coCawZJ
a
при выводе мы использовали равенство
1^(?) “Р ( ) (^r) “Р ( -S) •
В пределе больших длин волн (Zc2a2 = /с2х77сосаиг <1, где а — ларморовский радиус) величину I0 ехр (—Ъа) можно разложить в ряд: I о ехр (—Ъа) « 1 — Ъа « 1.
Таким образом, из (8.16.6) (считая Ъе bt) получаем выражение для частоты
к( — — \
V иг CDc /і kV і ,q Fyv
1-j-B2/AnnmiC* ~~ I + B2IAnnmiC2 ' [o.iv.s;
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
343
Эта волна движется в направлении дрейфа ионов со скоростью, равной примерно гидродинамической скорости ионов, которая превышает скорость дрейфа частиц в 2/(5 раз. Затухание Ландау для этой волны мало (задача 8.16.3).
В гл. 9 показано, что рассматриваемая волна становится неустойчивой в присутствии гравитационной силы, направленной противоположно градиенту плотности. Она может стать неустойчивой и в присутствии градиента температуры, который можно учесть путем приближенного выбора функции є», как, например, было сделано в (8.15.12) и (8.15.13).
Вторая волна с частотой
~ ь кТ 1 дВ W ~ у /тгсос В дх
существует, но можно показать, что она сильно затухает, и, как всегда в таких случаях, ее нельзя считать нормальной модой.
