Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
поскольку в силу (9.2.3) интеграл в (9.2.2), содержащий (ог/| к |, обращается в нуль. Однако, так как для всякого монотонно убывающего распределения и dFldu ^iO, интеграл в (9.2.4) отрицателен и, следовательно, (9.2.4) не может выполняться ни при каких (ог и (о*. Таким образом, анализ собственных колебаний приводит к следующему заключению.
Если для любого направления к спроектированная на к функция распределения
монотонно убывает по обе стороны от максимума при и = 0 (udF/du 0), то распределение F (и) устойчиво *).
Отсюда можно сделать вывод, что все изотропные распределения устойчивы (задача 9.2.1).
Полученный результат не зависит от системы отсчета. Если в какой-либо системе отсчета F — монотонно убывающая функция, то распределение устойчиво (задача 9.2.2).
Задача 9.2.1. Покажите, используя (9.2.4), что любое изотропное распределение /0 (v\ + Vy + v%) устойчиво, независимо от того, является /о монотонно убывающей функцией или нет.
устойчиво. Как выглядит это распределение в пространстве скоростей для одномерного и двумерного случаев? Устойчиво ли оно?
Задача 9.2.2. Распространите теорему (9.2.5) на случай плазмы, движущейся как целое со скоростью г;0, так что при всех и справедливо неравенство (и — j*0) dFtdu ^ 0.
(9.2.2)
CO
— OO
(9.2.3)
(9.2.4)
F (и) = j б ( и - JLL) [/„о (у) + Uo (V) ] dv (9.2.5)
1J Относительно рассматриваемых здесь электростатических возмущений.— Прим.
ред.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
357
С термодинамической точки зрения устойчивость монотонно убывающих распределений *) есть следствие двух свойств: сохранения энергии и сохранения объема в фазовом пространстве [теорема Лиувилля, утверждающая, что / (х, у, t) постоянна вдоль фазовой траектории, является прямым следствием уравнения Власова Df0IDt = 0]. Последнее свойство 2) не связано с предположением о малости возмущений и линеаризацией уравнения Власова. Оно не зависит и от того, каким образом по распределению / находят поля, определяющие в свою очередь траектории частиц. Для иллюстрации термодинамического подхода рассмотрим одномерную модель плазмы с произвольной начальной функцией распределения F (х, и2, 0). В качестве примера на фиг. 156, а изображены линии уровня F в фазовой плоскости х, U2r причем^величины F в областях а, Ь, с, d упорядочены следующим образом: F (а) > F (b) > F (с) ... . Критерий устойчивости связан с вопросом: какое состояние, которое может быть достигнуто из начального, обладает наименьшей внутренней (кинетической) энергией? Иными словами, чему соответствует минимальное значение интеграла энергии
I ^mu2F (х, и2) dx du, (9.2.6)
совместимое с теоремой Лиувилля.
Теорема Лиувилля позволяет переставлять между собой области Zr=Const и изменять их форму, но площадь этих областей должна оставаться неизменной. Поскольку интегрирование в (9.2.6) идет с весом гг2, ясно, что минимальное значение энергии (9.2.6) достигается, когда области наибольшей плотности F0 лежат как можно ближе к и2 = 0. Подобно смеси жидкостей с различными удельными весами, наиболее тяжелые слои идут ко «дну» (и2 = 0). Это иллюстрируется расположением уровней на фиг. 156, б, где функция распределения не зависит от а: и монотонно убывает по и2.
Если же в начальном состоянии функция распределения уже является монотонно убывающей, то приведенное рассмотрение показывает, что малые возмущения не растут. В частности, максимальное изменение кинетической энергии [и, согласно закону сохранения энергии, равное ему по величине
изменение энергии полей j (E218д) dx] не может быть больше, чем начальное
возмущение кинетической энергии. Распространение этих утверждений на трехмерный случай не составляет труда. Приведенное доказательство принадлежит Гарднеру [2].
Доказательство Гарднера дает пример простоты и общности, достигаемых при анализе устойчивости с помощью законов сохранения. Это доказа-
ла 6
Фиг. 156. «Термодинамически» устойчивое состояние с минимальной кинетической энергией, соответствующее «термодинамически» неустойчивому начальному состоянию. а — начальное состояние; б — состояние с минимальной кинетической энергией.
х) Здесь речь идет о монотонном убывании не спроектированных распределений, а самих /.— Прим. ред.
2) Как, впрочем, и первое.— Прим. ред.
358
ГЛАВА 9
тельство имеет следующие особенности: 1) оно нелинейное (т. е. из рассмотрения не выбрасывается ни один член); 2) оно справедлйво при учете как кулоновских, так и магнитных взаимодействий, поскольку предел для кинетической энергии ограничивает и полную электромагнитную энергию,
j dx (E2 + В2); 3) может быть распространено на случаи, чересчур сложные даже для применения теории возмущений.
§ 3. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕМОНОТОННЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ. ДВУХПОТОКОВАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
Если функция распределения по скоростям имеет несколько максимумов. то теорема Гарднера не дает ответа на вопрос об устойчивости.
Простым примером плазменной неустойчивости служит хорошо известная двухпотоковая неустойчивость.
