Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
JJ = ( UdvxY
а -оо
Общее решение уравнения (8.17.1) имеет вид
Подставляя данное решение в (8.17.2), мы видим, что последнее уравнение неявно представляет собой интегродифференциальное уравнение для ф. Поучительно решить уравнение (8.17.2) в нескольких следующих случаях.
17.1. Отсутствие запертых частиц
U=Vaob (v%-Vl0),
у 2 'jv І 2(7аФмакс I
а° I та Г
В этом случае запертых частиц нет, поскольку кинетическая энергия частиц выбрана большей, чем максимальная потенциальная энергия. Все частицы имеют одинаковую кинетическую энергию. Уравнение (8.17.2) для ф при таком распределении (плотности электронов и ионов вдали от потенциальной ямы равны, пе = Пі = п0) записывается в виде
(8.17.1)
(8.17.2),
— 4лге0е I -Jio =----------------------_Ve0 ) (8.17.3)
' VVio — 2e(p/mi VVlo-{-2ey/me / *
346
ГЛАВА 8
ИЛИ
где
^ (Ф)
Йф
V (ф) = —4im0 (Fiomi j/ Vf0 - ? + + FPOme|/ye20+^f). (8.17.4)
•Фиг. 150. Функция К(ф), вычисленная по формуле (8.17.4).
Отсюда видно, что ср можно рассматривать как координату частицы, движущейся в потенциальной яме Т^(ф). На фиг. 150 приведен качественный вид кривой V (ф) [построенной согласно (8.17.4)]. Таким образом, существуют решения уравнения (8.17.3), в которых ф колеблется в «потенциале» Т^(ф). На фиг. 150 показано, что обычно решение ф колеблется между точками ф4 и ф2. На фиг. 151 приведено такое решение ф(#). Это решение удовлетворяет условиям отсутствия захваченных частиц: V2IniVi0 > ?фг и iUmeVl0 > — ец>г. Для малых ф решение можно найти в явном виде. Разложение правой части уравнения (8.17.3) по ф дает
= - 4ltreO*2 (
,JniViO
ItleVlo ‘
ф
или
А 2 d2(p
(8.17.5)
тде характерный размер
Ad = (4jm0e2)“1/2 (
1
1
-1/2
TniViо ' TneVIo )
может рассматриваться как обобщенный дебаевский радиус, в выражении для которого роль температуры играет j ^mav2fad\. Это уравнение описывает гармонические колебания, и его решение имеет вид
ф = Фмакс sIn ЛвЯ. (8.17.6)
Это решение соответствует стационарной во времени, но осциллирующей в пространстве равновесной конфигурации, причем электрические поля могут быть велики. В системе отсчета, движущейся с постоянной скоростью С/0> эта конфигурация воспринимается как волна с характерной длиной волны А©. Вообще все результаты для равновесных конфигураций справедливы и для зависящих от времени распределений, если они стационарны в некоторой системе отсчета.
Фиг. 151. Потенциал ф (я)*
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
347
Захваченные электроны
/ о
E+e(p^ — mvc<e((p-(p„„u)
Захваченные ионы
E+ еу>= jmuz <е( (ртт-у)
X
Фиг. 152. Потенциал ф (я) и области захваченных электронов и ионов.
17.2. Равновесие в присутствии запертых частиц
Широкий класс БГК-волн можно построить и в тех случаях, когда присутствуют частицы с энергией, меньшей максимальной потенциальной энергии, т. е. имеются частицы, запертые в потенциальной яме (ти2/2 <?фмакс)* Для построения функции распределения, соответствующей произвольному потенциалу ф (я), удобно разделить все частицы на три группы: 1) пролетные частицы сорта a, E > — ефмин*» 2) запертые частицы сорта а, —^Фмин > E > — еф, и 3) остальные частицы. Здесь E = 1ItfnaV2 -j- qaф. На фиг. 152, например, электроны заперты в области большого потенциала, а ионы — в области малого потенциала. Можно далее считать распределения ионов ft и пролетных электронов fe заданными и добиться согласования подбором функции распределения запертых электронов. Это достигается с помощью уравнения Пуассона
Здесь было использовано равенство (напомним, что E = 1I^maV2 + даф)
Последнее слагаемое в правой части (8.17.7) дает плотность заряда запертых электронов и выражается через распределения ионов, пролетных электронов и потенциала.
Задача 8.17.1. Покажите, что для заданного (произвольного) распределения ионов, пролетных электронов и потенциала ф (#) распределение запертых электронов, при котором полное распределение плотности заряда согласовано с ф (я), дается выражением
OO
OO
dE 4- 4я пее j
-е<рмин
(8.17.7)
оо
OO
а
Л/ —V-E dV
1
Щр-dV, Е<-ефМИН)
348
ГЛАВА 8
где
V= вф,
„/TA_____I d2V , — ” 2/1 (E) JE, - f 2/g(?) JC.
4яе2 ^2+ I J y2m. (?_V) e J 1/2roe(?+F)
v ” ecpMHH
и d2V/dx2 есть функция У.
Задача 8.17.2. В одномерном случае уравнение Пуассона для электростатических БГК-волн можно записать в виде
-----y4nnaqa— f /а o(g) dE (8.17.8)
to* f* Ча™<х і V(ZIma) (E-Qa^0) ’
а «с^О
где E = (mJ2) Vx + дафо — энергия частицы, V = ecp0l ф0 (х) — равновесный электростатический потенциал и /а0 (E) — равновесная функция распределения частиц сорта а.
Покажите, что если функция распределения fa0 (E) для каждого сорта частиц является монотонно убывающей, т. е. (Ofa0IdE) (E) ^ О, то уравнение (8.17.7) не имеет решений при периодическом потенциале Фо («) = Фо (я + L) [13].).
(Указание. Cm. статью Энглемана, Фейкса и Минарди).
§ 18. СРАВНЕНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
