Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
V X B1 (х, *) = T-IT + -^ S j vZai (х, V. *)dv
a
поведение полей во времени. Поскольку равновесная функция распределения* /а0 зависит от х, искать поля и возмущенную часть функции распределения в виде плоских волн ехр [i (k*x — сох)] уже нельзя. Действительно, предположение, что E1 = Et ехр [i (kx — сот)], приводит к /а1 ~ /ак {х) X X ехр [i (к*х— сот)]. Поэтому уравнению Пуассона V*E = 4я2 Qana ^/ak dv
можно удовлетворить, только если Ek в свою очередь зависит от х. Таким образом, поле и функция распределения записываются в виде
E1 = Ek (х) ехр (ik • х) ехр (— icot)
и
/а1 = /ак (х, у) ехр (ik • х) ехр (— Ш).
В рассматриваемом случае неоднородной по плотности плазмы из уравнении Максвелла нельзя вывести дисперсионного уравнения для со(к) как для однородной плазмы. Однако с помощью этих уравнений можно получить сложное интегродифференциальное уравнение для амплитуд Ек(х). Условие, что такое интегродифференциальное уравнение должно иметь конечные решения (возмущенные поля Ek должны обращаться в нуль при х оо), позволяет в принципе найти собственные значения со(к).
К счастью, в широком классе задач, решаемых для плазмы с малыми: градиентами поля и плотности, т. е. когда выполняются условия
к п dx ^
И
1 *dn
aci п dx ^
можно показать, что решение интегродифференциального уравнения совпадает с результатами, полученными методом локального приближения.
В локальном приближении пространственное изменение полей и функции распределения предполагается почти гармоническим:
E1« Ek ехр (ik*x — mt)
и
/і ~ /к ехр (ік*х— Ш);
здесь Ek и /к — постоянные величины. Уравнения Максвелла приводят к дисперсионному уравнению типа
D (к, со, х) = 0.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
339
Далее, это уравнение рассматривают в точке х = X01 в которой градиент плотности максимален. Если в равновесном состоянии плазмы плотности частиц и магнитное поле изменяются следующим образом:
па — па0(\ — г'ах),
В*= B0 (1 + є#) z>
то градиенты не зависят от х, и в дисперсионном уравнении -D (к, со, х) = О можно положить для простоты X = 0.
Локальное приближение представляет собой основное упрощение задачи о дрейфовых волнах, и мы будем применять его здесь без строгого доказательства,, которое читатель может найти в обзорах [9, 10]. Основания для локального приближения физически ясны. Мода, локализованная в интервале, меньшем, чем характерный размер неоднородностей
л 2я ^ / I dn \ -1
It’
развивается в плазме с почти постоянной скоростью дрейфа. Поскольку такие скорости являются характерными для неоднородной плазмы, необходимо их аккуратно учитывать в рассматриваемом приближении. Таким образом, если скорость дрейфа почти постоянна на протяжении многих длин волн, то, после того как мы ее учли, можно пренебречь зависимостью от х всех остальных равновесных величин, т. е. положить х = 0 в D (к, со, х).
Предполагая, что возмущения полей и функции распределения имеют пространственно-временную зависимость в виде exp U (k-x— oof)], возмущенную часть функции распределения faк можно записать] следующим, образом:
-it I
— оо
X ехр [і (к*X — сот)] dx. (8.15.19)
Подставляя траектории из (8.15.18), можно в явном виде вычислить интеграл в (8.15.19). Вычисление этого интеграла довольно громоздко, но его можно упростить, используя тождество
OO
ехр (Ш sin 0)* 2 JI (R) exp (ilQ), (8.15.20)
Z=-OO
которое позволяет заменить exp (ik -х') функциями, экспоненциально зависящими от времени в виде exp (Umcaт).
С помощью тождества (8.15.20) нетрудно показать, что, если градиенты плотности малы, то в выражениях для траекторий членами, содержащими высшие гармоники, можно пренебречь. В частности, exp (ik*x;) содержит осциллирующий член типа
exp (і sin 2(0ст) , (8.15.21)
который при малых градиентах температуры, т. е. если
^ і
2 m ^ 1 ї (Оса mOL
можно с достаточной точностью записать в виде
exp Sin2avc) = I + іsin 2юст + ... I
\ (Ос / ^c
340
ГЛАВА 8
в силу ограниченности sin (2сосг). G другой стороны, член ех^(ікеи2±х/2(нс)я в котором аргумент (показатель экспоненты) не осциллирует, нельзя заменять единицей. Этот член описывает накапливающийся эффект от дрейфа частиц в неоднородном поле B0 (B0 = В0(х) z). Положим члены типа '{8.15.21) равными единице и запишем к в цилиндрических координатах:
Тогда выражение для возмущения функции распределения сильно упрощается:
где H и L — интегралы движения типа использованных в (8.15.5). Если H и L — интегралы движения, то Ofa0IдН и Dfa0IdL также являются интегралами движения и их можно вынести из-под интеграла по т. Это означает, что для выполнения интегрирования по траекториям не нужно знать деталей функции распределения /а0.
Вычисленные возмущения функции распределения представляют собой отправную точку во многих расчетах свойств дрейфовых волн с разными поляризациями в различных интервалах частот [10]. Для иллюстрации того, что в (8.15.22) содержатся новые типы волн, отсутствующие в однородной плазме, полезно ограничиться электростатическим приближением, положив B1 0, как и в § 3 гл. 8. Конечно, нельзя по своему желанию произвольно распоряжаться собственными векторами: они однозначно определяются из самосогласованных уравнений Власова — Максвелла. Однако рассмотрение полного решения подтверждает то, что при определенных условиях (Pa = SnnaKTJB2 I, (HpIk2C2 1) предположение B1 0 действительно является хорошим приближением. Нужно отметить также, что направление распространения к/1 к | можно выбрать по собственному усмотрению, и этим следует воспользоваться для дальнейшего упрощения. Хотя выбор определенного направления распространения к/1 к | и облегчает решение задачи, но волны со специально выбранным направлением к/1 к | могут не обладать всеми свойствами, которые проявляются при произвольном направлении распространения волн в плазме. Ограничивая частотный интервал рассматриваемых волн, можно добиться дальнейшего упрощения. Наиболее просто изучить низкочастотный предел (о) меньше циклотронной частоты любого сорта частиц), хотя мы снова теряем часть информации о поведении плазменных волн.
