Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Решения уравнения (8.12.6) для продольных плазменных волн можно найти графически, используя кривые для сумм 22 > построенные в зависимо-
a п
сти от (о. Пересечения этих кривых с горизонтальной линией /с2 дают собственные частоты (фиг. 145). Частоты бернстейновских мод лежат в интервалах между гармониками циклотронной частоты. Наинизшая частота, при которой возможно распространение этих волн, лежит выше циклотронной частоты (2 сосв > со > сосе). Точное положение частот бернстейновских мод зависит от плотности, температуры и величины магнитного поля. В качестве
Фиг. 145. Кривые, соответствующие правой части дисперсионного уравнения (8.12.7) для электростатических волн в плазме, распространяющихся поперек однородного магнитного поля [8].
Пересечение горизонтальной прямой к2 с этими кривыми дает нули диэлектрической проницаемости. Кривые построены для случая Я = ft2xT/mci)c = М*
328
ГЛАВА 8
примера рассмотрим плазму с максвелловским распределением, В этом случае дисперсионное уравнение (8.12.6) принимает вид
где In — модифицированная функция Бесселя первого рода, In (z) = = exp (—inn/2) Jn [exp (in/2) z\. Из решения уравнения (8.12.7) следует, что между интервалами частот, в которых возможно распространение бернстей-новских мод, находятся запрещенные интервалы. Это видно из фиг. 145, где отсутствуют волны с частотой, лежащей в узком интервале, например ниже частоты 2сос. Такие же щели имеются вблизи каждой гармоники.
Бернстейновские моды существуют как между гармониками сосе, так и между гармониками coCI*. В случае если температура плазмы низка или рассматриваются длинноволновые моды (с малыми к), функцию Бесселя In можно разложить в ряд по степеням ка. Одно из решений дисперсионного уравнения лежит при этом вблизи так называемой верхней гибридной частоты (Oir = Y+ coCC- Остальные решения находятся вблизи резонансов
о » ^coce, поскольку для их существования необходимо, чтобы величина (ка)2П~2с0рС/(с02 — W2(Oce) была порядка единицы:
(On = п(йсе {1 + 0 к&а)2"*2]}, причем к2а\е <С 1-
B редкой плазме все частоты бернстейновских мод лежат очень близко к гармоникам циклотронной частоты. В этом случае можно получить решение уравнения (8.12.7) в явном виде
со2 = 722сосс(1 ~Ьосп), w = l, 2, ..., (8.12.9
где
In (k2ale) exp (— fcza%e),
w>2,
(8.12.8)
an
He
a\e —
meale *
Заметим здесь, что приближение редкой плазмы справедливо при выполнении неравенства сор*. со|е.
На фиг. 146 приведены дисперсионные кривые со (к) для бернстейновских мод в редкой плазме. В плотной плазме, находящейся в слабом магнитном поле, возникают колебания на верхней гибридной частоте со н > > 2COre. В этом случае наинизшая частота бернстейновской моды [которую можно получить, разлагая In в уравнении (8.12.7) и сохраняя члены с п = 1 и w = 2] лежит чуть ниже второй циклотронной гармоники:
OJu
CU I
3 CO QQ
2 COqp
\а)% + СО*]'*
и>се
Co1 — 2сосе ^ 1
ш:
•ре
°р«-3а)се
X
3/с2 у.Т„
Фиг. 146. Закон дисперсии бернстейновских мод (электростатических волн, распространяющихся поперек однородного магнитного поля).
Ipe >3(0?«, А2а|е< і.
(8.12.10)
Высшие гармоники бернстейновских мод лежат вблизи циклотронных гар-
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
329
моник (выше или ниже в зависимости от плотности): п(Oce [I — 0{k2ale)n\, COIe > (п2 — 1) С0?с,
П&СЄ [I + 0(k2ale)n], Юре <ь(гс2“ I)
Nn ={
Вблизи ионных циклотронных гармоник наблюдается аналогичное поведение бернстейновских мод.
Возникновение этих мод, существующих в узких частотных интервалах, находится в сильном противоречии с результатами гидродинамической теории (фиг. 79), предсказывающей для волн, распространи- фиг ш Направл ющихся перпендикулярно B0, запрещенный интер- возмущенных полей в вал частот между Y (0ce(oci и CO1. В действительно- магнитозвуковой волне,
сти же, как показывает кинетическая теория, внут- распространяющейся
* * П0Д прямым углом к од-
ри этого интервала есть разрешенные области, в ко- нородному магнитному
торых возможно распространение волн (фиг. 146). полю.
Задача 8.12.2. Постройте дисперсионные кривые о (к) для бернстейновских мод, распространяющихся вблизи нескольких низших электронных и ионных циклотронных гармоник.
В холодной плазме уравнения (8.12.2) и (8.12.5) имеют простой (алгебраический) вид; мы их обсуждали в гл. 4. Здесь для полноты приведена сводка результатов.
Для мод с Ex = Ob уравнение (8.12.5) вносят существенный вклад только члены сп = ±1. Поэтому данное уравнение можно записать в виде
A2C2-O)2+2 = (8.12.11)
Отсюда при низких частотах (о2 < (оСг) имеем
со2 =
Вводя альфвеновскую скорость
і -\-Annmic2/B2 ' (8.12.12)
Va = -
в
~\/ Annmi
выражение (8.12.12) можно записать следующим образом:
k2V\
“’“-r+T# • <8,213>
Эта мода представляет собой магнитозвуковую волну, поскольку ее дисперсионное уравнение имеет вид со = kV. Магнитное поле такой волны Bk = = B^z параллельно B0. Магнитозвуковая волна распространяется перпендикулярно постоянному магнитному полю B0 и не искажает его силовых линий (фиг. 147). В области более высоких частот ((Oci < со < (Oce < соре) решение дисперсионного уравнения (8.12.5) для электромагнитной моды дает
