Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Неоднородная плотность и неоднородная поперечная температура. Выбрав Ea зависящим от v\ или V21, можно описаіь градиент температуры поперек B0. Так, если е'а = Pa + (б^v21IIkT)а и функция распределения имеет вид
где Pa и ба — постоянные, то в такой плазме существуют градиенты плотности па и поперечной температуры Ta:
^ajL = ^ao [I (Pa “f" Sj.а) %\»
В этом случае условие E0 = 0 с учетом (8.15.3) приводит к равенству
I d/aO I /а о дх Ix=X0=O ’
I dBо
В0 dx X=Xq=O ’
(8.15.10)
(8.15.11)
ах = /ао d\ = XTao = Const.
Ee — E^.
2хТїї / аО
^aJ. — ^aeA (I SttJ.х),
Tа\\~ Tао|| = COnst.
(8.15.12)
(Р + «±)« = (Р + «і)..
336
ГЛАВА 8
Неоднородная плотность и неоднородная продольная температура. Если sa = Pa + в равновесном состоянии существуют градиенты
плотности п и продольной температуры Гц, определяемые выражениями
tfa = tfao [1 (Pa ~Ь “2" fyja) ч
Та|| = Таоц (I — Sa||^), (8.15.13)
T сс± = T aoj_ = const,
(Р+тбп){=(Р+тбн)е и т- д-
Все эти состояния плазмы относятся к одним и тем же равновесным полям: В = B0 (I -f- ex) z и E0 = 0. Знание различных типов равновесных распределений, отвечающих заданным равновесным полям, позволяет описывать плазмы, полученные разными способами, при наличии градиента температуры или в его отсутствие и т. п. Такое разнообразие функций распределения /а0 представляет интерес при изучении бесстолкновительных процессов в течение времен, малых по сравнению с временем между столкновениями, поскольку после нескольких столкновений распределение становится локально максвелловским.
Задача 8.15.2. Покажите, используя уравнение Власова, что в состоянии равновесия плазмы в полях B0 = B0 (х) z и E0 = 0 не может быть ни градиентов плотности, ни градиентов температуры вдоль B0, т. е. dn/dz и dT/dz должны обращаться в нуль. Какими должны быть равновесные поля, чтобы существовали такие градиенты вдоль B0?
Состояние плазмы, описываемое выражениями (8.15.8) и (8.15.9) характеризуется двумя скоростями. Одна из них равна средней скорости частицы, или скорости дрейфа в неоднородном магнитном поле (градиентный дрейф, см. приложение I):
= = (8.15.14)
Вторая представляет собой скорость жидкого элемента и равна скорости частиц, усредненной по /а0 из (8.15.9):
Va=J v/aocZv= —у ^ j v\faо (v\, vz) dx = — e-a2^)g- у; (8.15.15)
здесь (v2)a = jy2/ao (*>*> vz) dx. Скорость дрейфа Vd равна истинной ‘) ско-
рости uL частицы, в то время как гидродинамическая скорость Va получается усреднением по скоростям различных частиц. Гидродинамическая скорость определяет электрический ток, связанный, согласно уравнениям Максвелла, с градиентом магнитного поля:
4зх жТ dBz ~
[а
В плазме, в которой неоднородной является только плотность, этот ток
возникает за счет градиента плотности ведущих центров (фиг. 149). Так, для
распределения Максвелла — Больцмана с плотностью п = па0 (1 — гах) гидродинамическая скорость равна
Va = -L^H у. (8.15.16)
па dx \ /тгсос / a J v 1
J) Усредненной по времени ларморовского вращения.— Прим. ред9
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
337
Фиг. 149. Траектории частиц в плазме с градиентом плотности, поясняющие возникновение тока (тока намагничивания), связанного с этим градиентом.
Существуют волны, тесно связанные с этими двумя скоростями и характерные для неоднородной плазмы в магнитном поле, аналогично тому, как существуют волны, связанные с циклотронным движением и другими свойствами частиц плазмы. Волны, обусловленные дрейфовым движением в плазме, называются дрейфовыми.
Применяя к этому случаю метод характеристик, можно найти возмущенную функцию распределения /а1 по траекториям частиц в невоэмущенных полях. Эти траектории описываются уравнениями
dx' ,
1F = V ’
^ = + (8-15Л7> х' (t' = t) = х, V '(?' = t) = \,
которые решаются по теории возмущений, поскольку (по предположению) параметр е = (1/2?) (dB/dx) мал. В результате громоздких, но несложных выкладок [сначала решается система уравнений (8.15.17) при є = 0, затем полученное нулевое приближение для Xf (?') подставляется в член GXf] имеем
Vy = V1 sin[e-(Dce(l + e* + g) х] + ^Х
X [1 — 2 (cos сосат) cos2 0 + cos 2 (0—о)сат) — (sin 20) sin CDcaT], (8.15.18)
Vtx = V1 cos[0-o)ca(l + ea: + -^-)T] + ^-x
X [(sin 20) COS CDcaT- sin 2 (0 — CDcaT) + 2 (sin CDcaT) COS2 0] ,
Vz = Vz;
здесь T = t' — ?, а скорость v записана в полярных координатах:
Vy = vL sin 0,
Vx = V1 COS 0f
»івК+»Й1/2.
Траекторию х' находят интегрированием скорости у'.
Задача 8.15.3. Найдите х'(т) по v'. Покажите, что уравнения (8.15.18) являются правильными. Позаботьтесь, чтобы решение удовлетворяло условиям х'(0) = х, у'(т = 0) = у.
338
ГЛАВА 8
15.2. Локальное приближение для возмущенной функции распределения
Возмущенная часть функции распределения, выраженная через параметры траектории с помощью (8.15.18), имеет вид
о
Zcel (х, V, t)=—^L j [Ej(x\ T + Q+V ХВі^Х ’ T + t>]-Vv-/ao(x', v') tfr
— OO
и определяет вместе с уравнениями Максвелла
