Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кролл Н. -> "Основы физики плазмы" -> 157

Основы физики плазмы - Кролл Н.

Кролл Н., Трейвелпис А. Основы физики плазмы — М.: Мир, 1975. — 526 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovifizikiplasmi1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 226 >> Следующая


Неустойчивость холодных пучков можно интерпретировать с помощью представления о бунчировке пучков, т. е. о периодической группировке заряда в пучке. Увеличение плотности заряда (например, электронов) в группировке вызывает возмущение плотности заряда в потоке, проходящем вблизи нее. Электроны пучка, которые проходят вблизи покоящегося скопления электронов, замедляются. Из уравнения непрерывности для заряда {гл. 3) следует, что замедление вызывает соответствующее увеличение плот-

Фиг. 165. Функция распределения с дополнительным максимумом [в «квосте» feb (у)] и фазовые скорости неустойчивых волн.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ

369

ности электронов пучка вблизи группированных электронов:

I Dn dV

п Dt дх

Таким образом, поток поддерживает группирование частиц.

Для неустойчивости требуется, чтобы суммарный заряд брj, индуцированный во всех плазменных потоках, превосходил 6р0 — заряд «затравочного» возмущения.

Группирование зарядов соответствует электростатической волне. Если эта волна не нарастает и не затухает, то в системе координат, в которой волна покоится, движение пучков стационарно. В этой системе нетрудно, используя сохранение заряда и эиергии, вычислить индуцированный заряд 6pj по заряду затравочного возмущения бр0. Условие бр j > 6р0 дает критерий неустойчивости, полученный выше.

В тех случаях, когда скорости потоков и тепловые скорости оказываются одного порядка, бывает трудно выполнить интегрирование по скоростям, необходимое для прямого вычисления D (к, со); невозможно также использовать и простое гидродинамическое описание, обсуждавшееся в данном параграфе. К счастью, существуют некоторые общие критерии устойчивости, которые могут быть применены в этих случаях; они рассмотрены в следующем параграфе.

Задача 9.5.1. Найдите, при каких условиях выполняется неравенство бр/ > бр0, и покажите, что они эквивалентны условиям (9.3.4) или (9.3.9).

§ 6. МЕТОД НАЙКВИСТА И КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕНРОУЗА

Если два потока плазмы имеют достаточно большой разброс скоростей или если пучок почти незаметен на фоне теплового распределения (фиг. 166), система может быть очень близка к устойчивому распределению с одним горбом.

Пенроуз [7] дал критерий, позволяющий определить, насколько большим должно быть отклонение от одногорбого распределения, чтобы появилась неустойчивость по отношению к электростатическим волнам.

Фиг. 166. Фупкция распределения с дополнительным плавным максимумом в области тепловых скоростей, соответствующим теплому пучку на фоне монотонно убывающего

распределения (штриховая кривая).

Монотонно убывающее распределение устойчиво (по теореме Гарднера). Однако теорема Гарднера не позволяет ответить на вопрос об устойчивости полного распределения. Ответ дается критерием Пен-

роуза.
370

ГЛАВА 9

Фиг. 167. Комплексная со-плоскость.

Показана область (заштрихованная часть), соответствующая неустойчивым волнам Wjc. Неустойчивые-решения уравнения D (k, (Ojc) = 0 лежат в верхней полуплоскости.

Критерий Пенроуза может быть получен методом, который сам по себе полезен при определении устойчивости плазмы во многих случаях, не входящих в область применимости критерия Пенроуза,— методом Найквиста. Проблема устойчивости состоит в определении того, имеет ли уравнение*

D (к, со) = О

какие-либо корни с

Im со > 0.

Функция D (к, со) и, следовательно, ее корни со (к) определяются равновесными полями и функцией распределения.

Рассмотрим некоторую функцию частоты со, задаваемую следующим равенством:

P / \ I dD (к, со)

k (03) — j) ^ dco

Предположим, что диэлектрическая проницаемость D (к, со) является аналитической функцией от со в верхней полуплоскости. Тогда G (со) имеет полюса в тех точках, где D (со) имеет нули. Далее, во всякой области, в которой D аналитична [где D (со) имеет нули, но не имеет полюсов], справедливо следующее равенство:

"2іїі і ("5" ^co = = Число нУлей функции D внутри контура Ci (9.6.1)

с

причем интеграл берется по замкнутому контуру. Если контур С окружает верхнюю полуплоскость, как показано на фиг. 167, то интеграл (9.6.1) даст число корней уравнения D-0 с 1шсо>0, т. е. число неустойчивых мод плазмы.

В общем случае функции / (z) комплексного переменного z, аналитической внутри и на контуре Г, за исключением конечного числа полюсов внутри Г, уравнение (9.6.1) можно заменить более общим. Это можно сделать следующим образом. Функцию / разложим в ряд Тейлора в точке Zi, в которой / (Zi) = 0:

TTl • TH • -j- 1

/(Z) = C1(Z-Zi) ' + C2(Z-Zi) !

здесь C1 Ф 0. Отношение /' (z)/f (Z) вблизи Z1 имеет вид

/' (2) _ ті ,

f (Zl ~ Z-Zi -Г • • • •
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ

371

Таким образом, /' (z)lf (z) имеет в точке Zi простой полюс с вычетом т*, равным порядку нуля функции /.

В полюсе Zj функцию / (z) можно разложить в ряд Лорана:

/ (z) =---H------------^TTTГ + • • • *

(Z-Zj)J (Z-Zj)J

где J1 ф О И Ij > 1.

В точке Zj отношение /'// можно записать так:

Г (*) __ h .
Предыдущая << 1 .. 151 152 153 154 155 156 < 157 > 158 159 160 161 162 163 .. 226 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed