Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
4r, + V • V/+a Vv/ = 4r I * (6-6Л>
___________ oti dt |столк '
х) Значительно больший поток энергии направлен перпендикулярно градиенту температуры (см., например, [13*]).— Прим. ред.
2) За исключением случаев, когда при столкновении происходит изменение внутреннего состояния одной из сталкивающихся частиц (возбуждение, излучение, ионизация и пр.)*— Прим. ред.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ
251
Фиг. 121. Диаграмма столкновений в с. ц. м. для вычисления изменения функции распределения в результате столкновений*
Величина (dfIdt) |Столк представляет собой скорость изменения функции распределения в результате столкновений.
Если это изменение происходит за счет одного парного столкновения, то его можно вычислить, задавшись сечением рассеяния двух частиц, обладающих определенной относительной скоростью и заданным распределением их по скоростям. Аналогично рассмотрению, проведенному в § 2 и 3, можно изучать столкновение двух частиц со скоростями у и V1 и массами т и тх. На фиг. 121 приведена диаграмма столкновения в с. ц. м. [напомним, что упругое рассеяние двух частиц в с. ц. м. эквивалентно рассеянию одной частицы с массой mmxl(m + Jn1) и скоростью у — V1 на неподвижном рассеивающем центре.]
Поток частиц сорта а со скоростью V1 через площадь Ъ dbde записывается в виде
ftafa (х, V1, t) I V — V11 dyjbdb de с"1, (6.6.2)
а число рассеивающих частиц сорта у, обладающих скоростью v, равно nyfy (х, V, t) dv. Следовательно, число таких столкновений, происходящих в 1 см3 за 1 с, есть
tta/a(x, V1, ?) I V-V4 | Hyfy (х, V, t) b db d& dvtd\.
Выразим bdbde через дифференциальное сечение рассеяния:
¦?-dO = ft dbdE,
ail
где dQ = sin Q dQ de — элемент телесного угла. Используя обозначения
/а (X, V, t) = fa
И
Zvl (х, V1, t)=f4i,
можно получить число столкновений за 1 с в геометрии, показанной на фиг. 121, а именно
\V — V1 I /a/vl«aWv d?i. (6.6.3)
Полная скорость, с которой функция распределения /а (х, v, t) уменьшается за счет столкновений, приводящих к уходу частиц из интервала v, v + dv, находится интегрированием выражения (6.6.3) по всем скоростям V1 рассеивающих частиц:
d\=-^naHydv \ dvifafyilv—dQ. (6.6.4)
Ot при рассеянии r J Y 1 '
v—v' V
252
ГЛАВА 6
Полная скорость, с которой /а (х, у, t) увеличивается за счет столкновений, обеспечивающих приход частиц в интервале скоростей у, у + d\, вычисляется аналогичным образом и равна
п У*.
Па Ot
при рассеянии v'-*v
dx =
= 2 Katiydx' j I v' — v;|/a(x, v', t) fy (x, x[, t) (^dQ^ dx\. (6.6.5)
V
Из симметрии рассеяния имеем
“'=(!)<“¦
а в силу сохранения энергии и импульса
I vj I = IV V1 I
и d\ ^v1 = dv'dv'. Поэтому уравнение (6.6.4) можно переписать следующим образом:
= 2 ПаПУ j Iv — vi I j /а/71 d&. (6.6.6)
п d^a Па dt
при рассеянии v'-*v
Объединение уравнений (6.6.4) и (6.6.6) дает полное изменение функции /а, обусловленное столкновениями, и тогда уравнение (6.6.1) можно записать в виде
-^+V-V/a + ^-Vv/a^Sn, J dVl j dQ-g- |v-Vl|X
V
X [/«(X, V', ?) fy (x, Vj, t) — /a(x, V, t) fy (x, V1, t)]. (6.6.7)
[Следует заметить, что в уравнении (6.6.7) скорости частиц после рассеяния у' и связаны с начальными скоростями v и V1 посредством дифференциального сечения doIdQ.]
Задача 6.6.1. Покажите, что при выборе подходящих пределов интегрирования больцмановский интеграл столкновений [правая часть уравнения (6.6.7)] можно преобразовать, используя сечение кулоновского рассеяния, таким образом,, чтобы оставить только вклад от малоугловых рассеяний, в результате чего мы будем иметь уравнение типа уравнения Фоккера — Планка (см. [2, 12*]). Какие необходимо выбрать пределы?
В случае слабоионизованной плазмы уравнение (6.6.7) можно применять для изучения эволюции распределения заряженных частиц (т. е. плазмы). Эволюция функции f (х, V, ?) определяется
1) средними полями, создаваемыми заряженными частицами (учиты-
ваемыми самосогласованным образом с помощью величины F = gaE + + ga[vx В]/с, где поле определяется следующим образом: VeE =
= 4я \ Zadv + 4ярвнеш И т. д.);
a J
2) произвольными внешними полями E0, B0, которые также учитываются величиной F;
3) столкновениями с нейтральным фоном.
Если плазма ионизована лишь в малой степени, то можно пренебречь столкновениями между заряженными частицами и заменить 2 nyfy произве-
V
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ
253
дением /гнейтр /нейтр* a do IdQ-сечением рассеяния заряженных частиц нейтральными атомами.
Больцмановская форма интеграла столкновений основана на предположении, которое в общем случае несправедливо для полностью ионизованной плазмы.
В этом предположении считается, что длительность столкновения много меньше времени между столкновениями. В плазме длительность столкновения совпадает со временем пролета частицей длины, равной дебаевскому радиусу экранирования. Этот интервал времени значительно превышает интервал времени между столкновениями, поскольку электрон, например, входит в дебаевскую сферу следующего иона задолго до того, как он покидает дебаевскую сферу предыдущего иона. Таким образом, в течение времени столкновения взаимодействие отнюдь не парное: электрон одновременно взаимодействует со всеми остальными частицами в дебаевской сфере, число которых велико согласно предположению.
