Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы правильно учесть столкновения в плазме, необходимо построить более подходящую модель для интеграла столкновений. Уравнение Фоккера —Планка, выведенное в § 3 настоящей главы, служит примером подобной модели.
Хотя кинетическое уравнение Больцмана не дает точного описания эволюции распределения в результате столкновений в полностью ионизованной плазме, его можно использовать для вычисления коэффициентов переноса в слабоионизованной плазме, где превалируют упругие столкновения электронов с нейтральными частицами. В этой проблеме необходимо разобраться, поскольку в ряде приложений нейтральные компоненты сильно влияют на свойства плазмы. Примером может служить МГД-генератор, рассматриваемый ниже в настоящей главе.
Вследствие приближенного характера уравнения Больцмана важно понять, в каких случаях его применение физически разумно. В качестве вычислений, связанных с уравнением Больцмана, мы предлагаем следующие задачи:
Задача 6.6.2. Функция распределения / (х, у, і), имеющая физический смысл, должна быть всюду положительной. Покажите, что если / (х, V, ? = 0) всюду положительна, то, согласно уравнению Больцмана, эта функция остается положительной в любой момент времени.
Задача 6.6.3. Покажите, что число частиц, описываемых функциями распределения / (х, v, ?), удовлетворяющими уравнению Больцмана,
сохраняется постоянным, т. е. j / (х, v, t) dx dx не зависит от времени.
Задача 6.6.4. Покажите, что, если
Iri=I т«-\3/У”У>2/2*Га /а ^ 2ях.Та ) е
интеграл столкновений в уравнении Больцмана обращается в нуль. Это означает, что распределение Максвелла — Больцмана представляет собой равновесное решение уравнения Больцмана.
Задача 6.6.5. Покажите, что энтропия больцмановской системы возрастает, т. е.
ЧГ J /ln/dv>0,
если / удовлетворяет уравнению Больцмана *).
х) Так называемая Н-теорема Больцмана.— Прим. ред.
254
ГЛАВА 6
§ 7. МОДИФИЦИРОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
Уравнение Больцмана в форме (6.6.7) почти не поддается исследованию как вследствие его нелинейности в общем случае, так и вследствие сложного вида интеграла столкновений. Для упрощения интеграла столкновений практически приходится прибегать к какому-либо приближению. Избежать затруднений, связанных с этим интегралом, можно с помощью простого метода, связанного с введением времени свободного пробега 1J. В этом методе больцмановский интеграл столкновений заменяют следующим выражением:
IL dt
/о —/(х, V, t) /о— / (х, V, t) /а п 4Ч
-----T(V) т-----* (Ь‘/Л)
в котором т (у) заменяют постоянным временем свободного пробега т Такая процедура приводит к модифицированному уравнению Больцмана
d/а і т д/а і Qa / g i ^ \ д/а __ ___ /а 0 /аО /g у 2\
Ot дх т \ ' с ) дх Ta * V • • /
Данный подход отражает представление о том, что любое распределение релаксирует к равновесному распределению /а0 за счет столкновений и что существует некоторое характерное время (в общем случае зависящее от скорости) между столкновениями с передачей импульса. В случае замены т (и) на среднее время между столкновениями т интеграл столкновений (6.7.1) становится особенно простым.
Существует несколько аспектов, связанных с аппроксимацией интеграла столкновений выражением (6.7.1), которые определяют использование такого приближения и ограничивают область его применимости:
1. Для сохранения числа частиц равновесную функцию /0 необходимо 2) выбирать в виде локального распределения Максвелла — Больцмана
4 na(x, t) I та \ 3/2 -а I 2KKTa )
Пд(Х, t)
= j /а(х, V, t)dv,
(6.7.3)
где па равно отношению полного числа частиц к полному объему системы.
В необходимости такого выбора 3) для сохранения числа частиц можно убедиться, проинтегрировав уравнение (6.7.2) по скоростям, что дает (так же* как и в гл. 3)
-f V.гсУ = _ f /«(X, V, O-Zao
ot J Ta
Поскольку член V лпУ описывает изменение n (х, t) за счет частиц, входящих в элементный объем и покидающих его, правая часть последнего уравнения представляет собой источник или сток частиц. Выбор /0 в виде распределения (6.7.3) гарантирует сохранение числа частиц, причем распределение сохраняется максвелловским по крайней мере локально.
2. Интеграл столкновений (6.7.1) видоизменяет распределение таким образом, что средняя скорость обращается в нуль, т. е. только в том случае,
когда j у/ (х, у, t) dx = 0, выполняется равенство (dldt) j v/ dx | столк = 0.
Это свойство не всегда соответствует действительности, т^к как обязан сохраняться импульс всей системы, но в случае столкновений электронов с нейтральными частицами указанное свойство является удачным приближением*
х) Так называемое т-приближение.— Прим. ред.
2) На самом деле достаточно.— Прим. ред.
3) Этот выбор является достаточным.— Прим. ред.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА B ПЛАЗМЕ
255
поскольку масса атомов много больше массы электронов. Модель, в которой предполагается, что электроны диффундируют за счет столкновений с рассеивающими частицами, обладающими стационарным распределением, называется моделью Лоренца. Эта модель может быть оправдана в случае малой степени ионизации системы, в противном случае в столкновительном члене следует учитывать электрон-электронные столкновения. Таким образом* уравнение (6.7.2) лучше всего применять для описания слабоионизованной плазмы 1).
