Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
Диффузия в плазме определяется не случайным блужданием одной частицы среди окружающих ее покоящихся частиц, а изменением распределения / (у, t) в результате многократных малоугловых рассеяний, происходящих между частицами, имеющими различные скорости, а именно те скорости, которые соответствуют распределению / (у, t). Если F (v, Ду) — вероятность того, что скорость частицы v за время At изменится на у + Ду, то функция распределения в момент времени t выражается через функцию распределения в момент t — Дt следующим образом:
/ (v, t) = j / (v — Ду, t — Д?) F (у — Ду, Ду) d (Ду). (6.3.1)
1J Корректный вывод интеграла столкновений в плазме с учетом малоуглового
характера кулоновского рассеяния был впервые проведен JI. Д. Ландау [12*].— Прим.
ред.
238
ГЛАВА 6
При этом предполагают, что / (v, t) изменяется только за счет столкновений.
Если основной эффект при столкновениях дают малоугловые рассеяния, то можно считать, что изменение скорости Ду за малый промежуток времени At мало, и выражение (6.3.1) можно записать в виде следующего разложения:
/(Ў> t) = j {/ (v, t)F(v, Av)— AtF (v, Ду) -g—Ду-^- [/ (v, t)F(\, Av)] +
+т 2 2 AviI/ (v- *) F (v-Av)] + • • • } d (M- (6-3-2)
і h
Здесь вероятность F нормирована, т. е. ^ F (у, Ду) d (Ду) = 1; кроме тогог
в выражении (6.3.2) учитывается изменение / только за счет столкновений. В силу этого (6.3.2) можно переписать в виде
IL
dt
--Sr И -Дї-і^+т S S T$ez>F) dW- <6-3-3>
г к
Вводя изменение моментов плотности вероятности F (у, Ду) (как функции Ду) в единицу времени
(4т)* = -JT j / (V, 0 ^ (V, Av) Av d (Av) (6.3.4)
и
(~w^) ="5Г j f(v,t)F (v, Av) Avi Avh d (Ах), (6.3.5)
можно записать скорость
изменения функции / со временем следующим образом:
IL
dt
|столк д2
Ovi Ovfi
= *> +
/(Ў«*)]; (6-3-6>
Фиг. 116. Временное изменение функции распределения по скоростям пучка электронов с одинаковой начальной энергией, происходящее за счет столкновений электронов с частицами покоящейся плазмы.
i, h
здесь мы пренебрегли членами порядка (Ду)3.
В термодинамическом равновесии система удовлетворяет уравнению (dfldt)СТОлк = 0. Система, не находящаяся в состоянии равновесия, может эволюционировать двумя путями. Во-первых, может уменьшаться (или увеличиваться) скорость некоторой группы частиц. Этот эффект сродни динамическому трению. Он описывается первым слагаемым в правой части уравнения (6.3.6) и пропорционален (Ду). Во-вторых, распределение по скоростям может расширяться. Это можно было бы назвать диффузией по скоростям, которая определяется в уравнении Фоккера — Планка членом, пропорциональным (ДуДу). На фиг. 116 показано, как деформировалась бы за счет столкновений функция распределения группы почти моно-энергетических пробных частиц небольшой плотности, впрыснутых в покоящуюся плазму.
Уравнение Фоккера — Планка (6.3.6) справедливо для любой системы, в которой столкновения приводят только к малым изменениям
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ
239
Unad
\
ф ми2
¦5Г
*1
Фиг. 117. Система координат в пространстве скоростей, используемая при вычислении изменения функции распределения при столкновениях.
скорости частиц vA а существенные изменения происходят лишь в результате многих небольших изменений.
Уравнение (6.3.6) можно применить к плазме. Для этого необходимо выразить величины (Av/Д?> и (Avi-AujIAt) через величины, характеризующие столкновения частиц в плазме. Это делается точно таким же способом, как и вычисление ((Д0)2), приведенное в предыдущем параграфе. Рассмотрим пробную частицу, движущуюся со скоростью vT среди частиц плазмы, скорость которых равна у.
Чтобы найти среднюю скорость изменения vT при движении пробной частицы сквозь плазму, необходимо провести два усреднения. Во-первых, нужно рассмотреть взаимодействие этой частицы с «полевыми» частицами, движущимися с одинаковой скоростью V. Эти полевые частицы могут иметь любые прицельные параметры по отношению к пробной частице. Поэтому первое усреднение взаимодействия пробной частицы, движущейся со скоростью vT, с множеством полевых частиц должно быть произведено по прицельным параметрам; обозначим это среднее значение через (Avi)r. Во-вторых, следует усреднить полученное среднее изменение скорости vT при взаимодействии со всеми частицами, которые движутся со скоростью v, по распределению этих частиц, пользуясь тем фактом, что плотность частиц со скоростью V равна / (v), так что среднее значение изменения скорости Ay, взятое по распределению полевых частиц, имеет вид (индексы і ж j обозначают компоненты вектора)
Вычисление таких, средних легче всего проводить в с. ц. м. (переходя затем обратно в лабораторную систему, чтобы получить (Av)t). Пусть и — относительная скорость движения пробной и полевой частиц в с. ц. м., а 0 — угол рассеяния, как показано на фиг. 115. Вектор Ди имеет три компоненты, которые в цилиндрической системе координат с осью z, направленной вдоль начальной скорости падающей частицы ипал, связаны с углом рассеяния 0и полярным углом ф (фиг. 117) при малоугловом рассеянии сле-
