Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
~~~~ • Vv/e0 4~ т с Iv X B0] • Vv/ei = VmcfcIi (6.10.5)
здесь мы опустили нижние индексы, соответствующие электронам или ионам, и использовали тот факт, что в случае максвелловской функции распределения /о
[v X B0] -Vv/0 = 0. (6.10.6)
Мы предположили, что постоянное магнитное поле направлено по оси z. Кроме того, мы отбросили члены второго порядка малости (Е eVvZi)* Умножая уравнение (6.10.5) на у и интегрируя по скорости, имеем
дЕ - XCocFy+ у<осУя= - vm{xVx + iV„ + zVz). (6.10.7)
TYl
Записывая это уравнение для каждой компоненты, получаем
qE* (OcVy=-VmVx, (6.10.8)
т
qE
TYl
Я Ez
у 'WcVx=-VmVy, (6.10.9)
т =-vmFz. (6.10.10)
Отсюда мы видим, что для /?2-компоненты поток nVz пропорционален Ez, т. е.
nvZ =-^Ez=IX0HEz. (6.10.11)
Следовательно, подвижность в направлении оси z, обозначенная через |х0, совпадает со своим значением в отсутствие магнитного поля. Разрешая
уравнения (6.10.8) и (6.10.9) относительно nVx и nVу, диффузию заряженных
частиц в слабоионизованной плазме, вызванную небольшим внешним электрическим полем, можно записать в следующем компактном виде:
Г = nY = Ii-E; (6.10.12)
здесь тензор подвижности |ш дается выражением (без потери общности считаем вектор E расположенным в плоскости ху)
[lT 0
fjt = — 0 . (6.10.13)
0 0 JXlle
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ
265
Поперечная подвижность (X1 определяет поток п\ в направлении вектора (Е — Е*В/Я), «косая» подвижность \іт определяет поток, перпендикулярный векторам E и B0. Компоненты тензора подвижности описываются следующими выражениями
Следует заметить, что знак величины \i0 зависит от знака носителя заряда, т. е. она положительна для ионов и отрицательна для электронов. Далее мы рассмотрим связь тензора подвижности с тензором проводимости и тензором коэффициентов диффузии в модели плазмы, обсужденной выше.
10.2. Проводимость и закон Ома
Тензор проводимости в том случае, когда ток переносится заряженными частицами одного сорта, определяется выражением
Однако поскольку дрейф ([E х В]/В2) с не зависит от массы, ток в направлении поля E не всегда определяется подвижностью одних электронов. Проводимость плазмы, в которой имеются несколько подвижных компонент, можно найти, выразив ток через поток частиц:
Тензор проводимости для плазмы, состоящей из электронов и ионов (Z = 1)г имеет вид
В случае частых столкновений (coc/vm<^l) компонента проводимости в направлении Ej_ значительно превышает от и проводимость плазмы в основном определяется электронами. В этом случае равна своему значению в отсутствие магнитного поля. Столкновения позволяют частице случайно блуждать в направлении E и препятствуют дрейфу частиц в направлении вектора [Е X В].
В Случае реДКИХ СТОЛКНОВеНИЙ (Vm (Dc) ПРОВОДИМОСТЬ (Jj_ опять много больше Gt. Дело в том, что скорости ионов и электронов в направлении вектора [Е X В] почти совпадают, вот почему ток в этом направлении близок к нулю. Следует заметить, что при coc^>vm ионы вносят наибольший вклад в ток [(Jj^~(ra;/rae)1/2ajJ. Причина этого состоит в том, что ларморовский радиус ионов много больше ларморовского радиуса электронов, а при каждом столкновении частица перемещается примерно на один ларморовский радиус в направлении Ej_.
(0.10.14)
(6.10.1Г>)
(G.10.16)
a = nq\x.
(6.10.17)
J — 2 паЦаУа — 2 (ZaM'a'E — (Т*Е.
(6.10.18)
a
a
Ox Ot 0
a= —от O1 О О Oo,,
(6.10.19)
где
(6.10.21)
(6.10.20)
266
ГЛАВА 6
В гл. 3 был приведен закон Ома в виде
-L = E + (6.10.22)
где G = (пе2/т) т. В отсутствие столкновений данное выражение означает, что конечный ток возможен, только если правая часть выражения (6.10.22) равна нулю, т. е. должно выполняться следующее равенство:
E= —(6.10.23)
Чтобы записать выражение (6.10.22) в форме J = а*Е, при наличии столкновений необходимо иметь соотношение между V и Е. Используемая здесь модель столкновений позволяет получить такое соотношение.
Альтернатива предыдущему выводу состоит в том, чтобы получить МГД-уравнения, пригодные в случае слабоионизованной плазмы. Поступая так же, как и в гл. 3, где были получены МГД-уравнения для полностью ионизованного газа, и пользуясь т-приближением (считая среднее время столкновений не зависящим от сорта частиц), согласно которому
J -о,
j
df
dt столк
dfa
dt столк
T
можно получить следующие МГД-уравнения для слабоионизованной плазмы (см. § 3 гл. 3):
PlT+ PV-VV = ^--VP-J(6.10.24) ? = /Е+VxJJ-(6.10.25)
т \ с пес / 4 '
В силу сохранения импульса последний член в уравнении (6.10.24) обращается в нуль в случае полностью ионизованной плазмы. Последнее слагаемое в скобках в уравнении (6.10.25) называется полем Холла.
10.3. Диффузия
Тензор коэффициентов диффузии определяют выражением
D=^, (6.10.26)
а плотность частиц находят из уравнения непрерывности, которое при riV = —D eVft записывается следующим образом:
^ = (V'D*V)n. (6.10.27)
Задача 6.10.1. Выведите систему магнитогидродинамических уравнений для скорости и тока электронов в слабоионизованной плазме, в которой ионы неподвижны (например, ионы могут быть закреплены в кристаллической решетке).
