Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
(6.3.7)
240
ГЛАВА 6
дующим образом:
л 0 0 U1-Au= — I Au I sin у л; — (мв) у,
л 0
U2 • Au = I Au I COS у sin ф ж ив sin ф,
л 0
U3-Au = | Au I cos у cos ф ж uQ cos ф.
Среднее значение этих изменений скорости, получаемое усреднением по прицельным параметрам, вычисляется так же, как и в предыдущем параграфе; угол рассеяния 0 связан с прицельным параметром b соотношением
!здесь |х = mTmFl(mT + mF) — приведенная масса пробной и полевой частиц]. Число рассеивающих центров, встречаемых за время At (за которое пробная частица проходит расстояние uAt) и приводящих к рассеянию на угол 0, равно
N = [nf (у) d\] и Аtdф bdb. (6.3.9)
Следовательно, среднее изменение скорости (Au) пробной частицы, отнесенное к одной полевой частице, движущейся со скоростью V в с. ц. м.,
bnnFq\q\, AiV * 4яA-I а ,Cl ч лґ\\
uO-(Au)=-?2^5—At J -?- = —^2— At In А, (6.3.10)
bMHH
u2«(Au) = u3*(Au) =0. (6.3.11)
В формуле (6.3.10)
A —А / *зуз \ 1/2 г*
2 \ Tin J Zeз *
а обоснование приближения, заключающегося в замене j db/b на In А, мы
обсудили в предыдущем параграфе после выражения (6.2.4). Равенство нулю выражений (6.3.11) следует из симметрии рассеяния по полярному углу ф.
Рассмотрим выражение (6.3.10) в лабораторной системе, что необходимо для определения изменения скорости пробной частицы Avt. Для этого совершим следующее преобразование:
TH р'
Vt = U-
TYIji -|- ТПр
где V — скорость центра масс, тпт и mF — массы пробной и полевой частиц соответственно. Отсюда следует, что Avt = AumF/(mT + mF) и, таким образом,
ьл.
At тт\лиА
Аналогичное вычисление дает следующий результат:
(ua. Au) (u2• Au) = (u3-Au) (u3*Au) = —^— At In Л,
(Uj.Au) (u;-.Au) = 0 при іф],
(U1*Au) (ut»Au) (u2»Au) (u2»Au).
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ
241
В лабораторной системе координат этот результат сводится к следующему: [А„,Д„.1—4(Sll-J^L)InA. (6.3.12)
Задача 6.3.1. В каком приближении можно пренебречь величиной (U1eAu)2 по сравнению с (и2*Ди)2?
Усредняя с помощью функции распределения рассеивающих частиц по скоростям, из выражения (6.3.7) определяют коэффициенты, необходимые для завершения описания столкновительных эффектов с помощью уравнения Фоккера — Планка в полностью ионизованной плазме:
<#>-J/.<*¦> (6.3.13,
И
/AviAи; \ 4япа4<7?1пЛ дг f
\ ДЇ / =----Щ------щЩ) /«(V )| vT —у I dv; (6.3.14)
здесь нижний индекс а обозначает сорт полевых частиц (ионы или электроны). Кроме того, при получении выражения (6.3.14) использовалось тождество
д2и иди — uiuj/u
^dvi dvj и2
После введения вспомогательных функций
ga (V)=J U (V') I V-V' Idv',
Ha(Y) = ^L (-Ai^Ldv', v * Ma J I v — v' I ’
где \ia = ттта1(тт -\-та), уравнение Фоккера — Планка принимает стандартную форму
І/l =ЧЧГ_______________________________д_/ dka \ і 1 9» (, дНа \ 1 . .
dt |столк L dvi Vt dvt ) ' 2 Ovi dvj Vt Ovi dvj ) J m\
(6.3.15)
Уравнение (6.3.15) описывает изменение функции распределения пробных частиц /т за счет столкновений с частицами всех сортов а в плазме. В самом деле, /т можно, например, рассматривать как распределение электронов, тогда (6.3.15) описывает влияние на него электрон-ионных столкновений. Аналогично в качестве /т можно взять распределение ионов и использовать уравнение (6.3.15) для того, чтобы найти, как изменяется Ji за счет ион-электронных столкновений.
§ 4. ВРЕМЕНА РЕЛАКСАЦИИ В ПОЛНОСТЬЮ ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ
С помощью уравнения Фоккера — Планка (6.3.15) можно найти характерное время, в течение которого неравновесная плазма релаксирует к максвелловскому распределению. Однако вычислить это время можно только приближенно, поскольку ответ в действительности зависит от предыстории конкретного распределения. He решая общей задачи об эволюции произвольного распределения плазменных частиц, рассмотрим релаксацию проходящего сквозь плазму пучка пробных частиц с плотностью пт и функцией рас-
242
ГЛАВА 6
(6.4.1)
Если плотность пробных частиц мала, то столкновения их друг с другом не оказывают существенного влияния на их движение в отличие от столкновений этих частиц с электронами и ионами плазмы (плотностью п0), которые имеют следующие распределения по скоростям:
В качестве пробных частиц можно рассматривать как ионы, так и электроны. Вычислив их продольное торможение и боковое отклонение, мы можем составить вполне реалистическое представление о том, каким образом в процессе столкновений плазма релаксирует к равновесному состоянию.
4.1 • Продольное торможение пучка в плазме
Эволюция распределения пробных частиц от начального распределения
(6.4.1) при t = 0 описывается уравнением (6.3.15). Диффузию пучка пробных частиц в пространстве скоростей можно определить, вычисляя моменты по скоростям от уравнения (6.3.15) Умножение этого уравнения на v и интегрирование по d\ дает
здесь мы обозначили U=J fT\d\ и уа = AnqrQa (In А)1гпт. Продольное
торможение пучка при ? = 0 получаем из этого уравнения после подстановки в его правую часть распределения пробных частиц при t = 0 и вычисления интегралов от ha:
