Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
— функция ошибок. При выводе этого выражения мы использовали равен-
Первый член в правой части уравнения (6.4.4) описывает торможение пучка пробных частиц при их столкновениях с электронами плазмы, а второй — с ионами. На фиг. 118 приведен график функции Ф. Мы видим, что продольное торможение зависит от относительной скорости пучка и тепловых частиц плазмы. Если скорость пучка много больше скорости плазменных частиц, торможение совсем невелико, тогда как при U^YЯкТІпг происходит заметное торможение пучка. Введя время торможения
(6.4.2).
(6.4.3)
а
д\] 4лnee2q2 In Л д
W [тгф +jSr) +
dty т\
(6.4.4)-
где
у
CTBO
j {[exp (—a:2)]/1 X — у | } dx = Ф (у) я3l2Iy.
dU \ - і
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА B ПЛАЗМЕ
243
Фиг* 118 Функция ошибок Ф и замедление dU/dt пробной частицы в плазме за счет столкновений с электронами в зависимости от скорости пробной частицы.
можно выделить следующие случаи, соответствующие различным скоростям пучка пробных частиц:
1.
и> Vr ,
У те " У Tni ’
m\U 3
(6.4.5)
4лпеегфр (2 -f- тг1те) In А
а) Торможение происходит в основном благодаря рассеянию на электронах;
б) время торможения Ts для тяжелых частиц больше, чем для легких;
в) Ts слабо зависит от температуры плазмы.
2.
(6.4.6)
а) Торможение происходит в основном за счет рассеяния на ионах при условии, что TiITe > (UiiIme)i^3;
б) более тяжелые пробные частицы тормозятся медленнее;
в) торможение пучка в более горячей плазме происходит медленнее.
3.
i/ < ?7 < l/
У ті У те ’
(6.4.7)
[Sr (.+S9+^ir (.+?-) шгп].»*•
Таким образом, теория, основанная на уравнении Фоккера—Планка, позволяет получить вполне обозримые результаты в задаче о торможении пучка при взаимодействии его с частицами плазмы.
Задача 6.4.1. Выясните, в чем состоит сходство и различие между выражениями для времени торможения (6.4.5)-(6.4.7) и приближенным
244
ГЛАВА 6
выражением, соответствующим (6.2.8), для времени отклонения пробной частицы на угол 90° вследствие многократного рассеяния.
Задача 6.4.2. Сравните время нарастания двухпотоковой неустойчивости (§ 5 гл. 5) с временем торможения Ts и объясните, в каком случае преобладает столкновительный, а в каком бесстолкновительный механизм торможения.
4.2. Рассыпание пучка в плазме
Столкновения частиц моноэнергетического пучка с частицами плазмы приводят не только к его торможению, но и к рассыпанию как за счет отклонения частиц в пучке (приводящих к изотропии), так и вследствие размывания распределения по скоростям (приводящего к равновесному распределению). Эти эффекты можно выделить, умножая уравнение Фоккера — Планка на и2 и интегрируя результат по dx.
Рассматривая изменение U2 отдельно в направлении, параллельном вектору начальной скорости U и перпендикулярном ему, получаем при ? = 0
л 4zinPe2q% In А г <92 г
і- <и»> —~4— I(/*+т iu-v Iiiv +
'+2orB-SSrS (1 +-Sr) і ттВт] <6-4-8>
11 а
И
(Щ+UD =
4лпее2а%, In А / Я21 Я2 \ (*
I (/. + ZttIU-VIAr'. (6.4.9)
Диффузия пучка, которая приводит к его изотропии, объясняется только присутствием диффузионного члена (д2/<ЭС/х)> в то время как расплывание по Uо объясняется как наличием диффузионного члена, так и члена (d/dt/ц), описывающего динамическое трение.
Введя время бокового отклонения (время релаксации импульса)
W
%D~ dU\/dt »
можно получить оценку времени, в течение которого пучок становится изотропным. Для пробных частиц, движущихся со скоростью больше тепловой скорости электронов (U > YyiTeInte),
тр 3
Itav^hA • (6-4Л0>
Если пробные частицы — электроны, время отклонения сравнимо с временем торможения [см. (6.4.5)], но если пробные частицы — быстрые ионы, они тормозятся значительно быстрее, чем рассыпаются.
Другой интересный предельный случай связан с движением пробного пучка тепловых протонов в водородной плазме, для которого
Td = Yjnl(^Tl)---Гф (1) -]- (пробные ионы), U^Y^~L'> (6.4.11)
"|/2 ппее* In A Lw^yTtJ У mt ' ;
и с пучком пробных тепловых электронов, который рассыпается за время
Td = ---Гф(1)+ 2е . -f- 2І (пробные электроны), и ж л/".
D "]/2 лпее4 In A I- У л J у гпе
(6.4.12)
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ПЛАЗМЕ
245
Задача 6.4.3. Покажите, что
і 4я«ее*4 In Л д г ^ 2кТа 1 Г 2U-. /~~щГ -т„и2/2*Т„ .
xD ' т,уиг OU \ 2.J та С/ [ т/я V 2хТа +
ос к
В табл. 4 приведены значения времен отклонения для различных типов плазмы. Из сравнения выражений (6.4.11) и (6.4.12) можно видеть, что электроны релаксируют к изотропному распределению быстрее, чем ионы
в Ymi/me Pa3? т* е*
/те
^TT 7V
Кроме рассыпания, для диффузии пучка, приводящей к тепловому равновесию, характерно размывание по энергиям. Вводя величины
W = ±mTU2
— W
:
dW/dt ’
можно получить масштабы времени, за которые протекают три характерных процесса: релаксация нетепловых электронов и релаксация нетепловых ионов к максвелловскому распределению соответственно с температурой Te или Ti и термализация электронов и ионов (Te, Ti-^T). Эти характерные времена вычисляют путем сложения выражений (6.4.8) и (6.4.9) и соответствующего выбора пробных частиц:
