Основы физики плазмы - Кролл Н.
Скачать (прямая ссылка):
пе (a, t) = Ui (а, t) = 0. (6.9.16)
202
ГЛАВА 6
I
I . Плазма ; .. •' {
Фиг. 123. Плазменный столб с линейным источником, помещенным на оси, для изучения диффузии плазмы в слабоионизованном газе.
Зависимость плотности от времени и координаты определяется дифференциальным уравнением диффузии (6.9.12). В случае в это уравнение
должен входить коэффициент амбиполярной диффузии. В азимутальносимметричной цилиндрической плазме, неограниченной в осевом направлении, диффузия происходит только в радиальном направлении и уравнение
(6.9.12) в цилиндрических координатах записывается следующим образом:
2sJr2(6Л,'17)
Если искать решение этого уравнения методом разделения переменных в форме
п (г, t) = T (t) R (г),
то уравнение (6.9.17) можно записать в виде
I dT(t) _ Da I d Г„d#(r)l о 4Q\
T(t) dt R (г) г dr L dr J* ^ )
Таким образом, зависимость от времени выглядит как
T(t) = Ae-V\ (6.9.19)
Подставляя это решение в (6.9.18), получаем дифференциальное уравнение
для радиальной зависимости
-Sr я (г)+ і.+ <г)=0. (6.9.20)
Решение этого дифференциального уравнения, ограниченное на оси, представляет собой обычную функцию Бесселя первого рода, т. е.
йм=вМу=ёт>- <вА21>
Граничное условие на стенке (г = а) требует, чтобы
•Mw)=0- (6Л1'22)
откуда находим величину
Pv= УЗГ ’ (6'9'23)
представляющую собой v-й корень функции Бесселя первого рода (рх =2,405,
P2 = 5,52 и т. д.). Последнее соотношение связывает время затухания т с коэффициентом диффузии и размером плазменной установки.
Произвольное начальное распределение плотности вдоль радиуса можно представить в виде разложения по полученным выше радиальным решениям:
OO
л (г, О)= 2 Cv/о (Pv-J-), (6.9.24)
V=I
где коэффициенты разложения определяются выражением
а
Cv=xdhpJ "(г’ °>Мр*тИг- (б-9-25>
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА B ПЛАЗМЕ
263
Каждая мода обладает своим, отличным от других временем затухания т. Из (6.9.23) имеем
'-таг <6'9'26)
Полное решение имеет вид
n(r,t) = i CJ0(p4^)e-w^>\ (6.9.27)
V=I
По прошествии некоторого времени выживает только основная радиальная мода (v = 1), поскольку ее скорость затухания минимальна. Таким образом, плотность вдоль радиуса спадает по следующему закону:
п(г, *) = C1Z0 ( P1-J-) (6.9.28)
Если теперь с помощью ленгмюровских зондов или микроволнового рассеяния измерить в фиксированной точке плотность или какую-либо величинуt пропорциональную ей, как функцию времени, то можно определить коэффициент амбиполярной диффузии по наклону графика зависимости In [п (?)] от времени.
-8 10. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА В СЛАБОИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ, НАХОДЯЩЕЙСЯ В ПОСТОЯННОМ ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В большинстве экспериментов плазма удерживается магнитным полем; динамика плазмы определяется диффузией, проводимостью и другими явлениями переноса поперек магнитного поля. Соответствующие коэффициенты переноса можно вычислить с помощью модели столкновений, описанной в предыдущем параграфе, предполагая, что столкновения электронов и ионов с нейтралами играют более важную роль, чем электрон-ионные столкновения, и считая частоту столкновений достаточно большой, так что в отсутствие градиентов или электрических полей функции распределения электронов, ионов и нейтралов являются максвелловскими.
10.1. Подвижность
Пусть к замагниченной плазме приложено слабое электрическое поле Е. Кинетическое уравнение Больцмана для функции распределения электронов имеет вид
T+v-V/.-^ (EH-^)-Vv/,= (6.Ю.1)
Столкновительный член в рассматриваемом здесь случае слабоионизованной плазмы определяется выражением
|столк ^ _ Vmp ~ ’ (6.10.2)
гДе vme — частота столкновений электронов с нейтралами, а /е0 — функция распределения Максвелла. Если электрическое поле мало, то общая функция распределения электронов складывается из функции распределения Максвелла и малой добавки, связанной с электрическим полем Е, т. е.
/е=/ео + /е|» fel<^fe0- (6.10.3)
Предполагается, что для ионов справедливо аналогичное разложение. Подвижность (и проводимость) плазмы, обусловленная компонентой электри-
2П4
ГЛАВА 6
ческого поля в направлении магнитного поля, совпадает со своим значением в отсутствие магнитного поля. Однако движение электронов (и ионов), обусловленное компонентами электрического поля, перпендикулярными магнитному полю, изменяется под действием магнитного поля. Кроме того, электрическое поле в направлении оси х (считаем, что магнитное поле направлено по оси z) вызовет одновременно с движением HO ОСИ X также движение, направленное по оси у (Е х В-дрейф). Таким образом, в общем случае подвижность (и другие коэффициенты переноса) представляет собой анизотропный тензор. Тензор подвижности определяется через поток частиц точно так же, как и в более простом случае для скалярной подвижности плазмы, свободной от внешних полей:
пР\х *Е = пе\с = пе j \fe\d\. (6.10.4)
С целью вычисления подвижности электронов (или ионов) в слабоиопи-зованной плазме в рамках т-приближения для столкновений предположим, что достигнуто стационарное состояние, т. е. dfIdt = 0. Уравнение Больцмана (6.10.1) с учетом выражений (6.10.2) и (6.10.3) принимает вид
