Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
OT1 т\+м - т\
dt
Л/
Если узел расположен на границе твердого тела, то для него необходимо вывести специальное уравнение энергии. Форма уравнения энергии зависит от граничного условия на поверхности. Одним из наиболее часто встречающихся условий является
наличие конвективной тєпло-
^1 Окружающая ^ среда
0;
отдачи поверхности. Снова рассмотрим одномерную задачу, причем узел О расположен на поверхности (рис. 3.11). Уравнение энергии для узла О имеет вид
а Л-п — dUo ->0 "оо->0 Qt *
или
kA-
¦ + RcA (ТІ-ТІ) =
Рис. 3.11. Расположение узлов для поверхности твердого тела, находящейся в контакте с внешней средой (одномерная задача).
рЛ Ахс rS+^-rJ 2 , Xi
(3.28)
Отметим, что узлу, лежащему на поверхности, соответствует объем (Ах) Л/2, поскольку ширина ячейки в этом случае составляет половину ширины ячейки внутреннего узла. Всем внутренним узлам соответствует ячейка шириной Ал:, в то время как граничным узлам — ячейка шириной А*/2.
Разрешая уравнение (3.28) относительно температуры в граничном узле в момент времени / + А/, получаем
f+м = 2Fo [Т\ + Bi Tl] + [I- 2Fo - 2Fo Bi] ТІ (3.29)
где Fo = а (АО/(Ал:)2, Bi = hc{kx)/k. Если узлы расположены близко друг к другу, масса, соответствующая граничному узлу, мала и можно пренебречь энергией, аккумулирующейся в граничном узле; другими словами, можно пренебречь теплоемкостью граничного узла. В случае пренебрежимо малой теплоемкости To+At = То и соотношение (3.29) сводится к следующему:
, т\ + ыт1
/о= 1 + Bi •
(3.30)
Если теплоемкостью граничного узла нельзя пренебречь и для расчета изменения температуры поверхности применяется соот-
Нестационарная теплопроводность 157
ношение (3.29), то для нахождения температуры поверхности в момент времени t + At необходимо знать текущие значения температуры на поверхности твердого тела и в первом узле от поверхности. Если можно пренебречь теплоемкостью поверхности и применить соотношение (3.30), то достаточно знать текущие значения температуры Т\ и Гоо, чтобы найти текущее значение температуры поверхности Го.
Чтобы решить задачу нестационарной теплопроводности численным методом, необходимо знать начальное распределение температуры в твердом теле. Обычно в качестве начального условия задают начальные температуры в твердом теле. Часто тело вначале изотермично, а это условие легко учесть, приняв начальные температуры во всех узлах равными известной начальной температуре тела. Затем начинают численное решение, вычисляя температуры в момент времени At с помощью соотношения (3.27) для всех внутренних узлов и соотношения (3,29) для граничных узлов, если на поверхности происходит конвективная теплоотдача к окружающей среде, имеющей температуру Гоо. После расчета всех температур в момент времени At процесс повторяют и рассчитывают распределение температуры в момент времени 2А/. Эту процедуру повторяют до тех пор, пока не будет достигнут момент времени, для которого требуется знать распределение температуры.
До сих пор мы считали, что выбор расстояния между узлами Ax и временного интервала At является произвольным. Однако при некоторых значениях Ал: и At можно получить результаты, противоречащие основным законам термодинамики. Предположим, например, что в некоторый момент времени температуры в трех соседних узлах (рис. 3.10) равны Tx = 100°С, T2= 100°С, Г0 = 50°С. Мы хотим рассчитать температуру в узле 0 в следующий момент времени с помощью соотношения (3.27). Кроме того, предположим, что при заданном коэффициенте температуропроводности материала мы выбрали Ал: и At таким образом, чтобы число Фурье было равно единице Fo = аД//(Дл;)2 = 1,0. Подставляя это значение числа Фурье в соотношение (3.27), находим температуру в узле 0 в следующий момент времени:
Г$+Л' = Г( + Tl-Tl
или Tl+^ = 100 + 100 - 50 = 15O0C
Однако мы знаем, что температура в узле 0 не может стать выше 100°С, поскольку тепло подводится к нему из областей с температурой 100°С. Тот факт, что, согласно численным расчетам, температура в узле 0 превышает 100°С, противоречит второму началу термодинамики. Если бы мы подставили другие значения числа Фурье, чтобы определить его влияние на будущую температуру в узле 0, то мы бы нашли, что результаты
Таблица 3.4
Явные разностные уравнения баланса энергии и критерии устойчивости для некоторых задач
Рассматриваемый случай
Схема
Разностное уравнение
Критерий устойчивости
Одномерная задача, внутренний узел
Двумерная задаче, внутренний узел, квадратная ячейка
+[1-4(Fo)Ir0*
Fo<J
Fo<?
Трехмерная задача, внутренний узел, нубичесная ячейка
Одномерная задача, граничный узел, конвекция на границе
Двумерная задача, граничный узел, конвенция на границе
Двумерная задача, внешний угол, граничный узел, конвекция на границе
Двумерная задача, внутренний угол, граничный узел, конвекция на границе
°Кр^!?яЩаЯ r0'+A/=2(FoXr,4Ц- + Щ- +(Bi)Tj] + Fo(2+Bi)<? Нс ' Т<° + [1 -4(Fo)-2(FoXBi)] Г0Г
дх Окружающая — среда
Окружающаячи -J-среда he, Tm
70^«2(FoXr/+ T2*+2(BX)TJ] + +[1 -4(Fo)-4(FoXBi)ir0'
