Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Г (0,0=* TV (3.14)
Решение уравнения (3.11) при двух граничных условиях (3.13) и (3.14) и начальном условии (3.12) выражается соотношением
?3№?~~1Ш- <315>
Способ получения этого решения приведен в работе [5]1). Функция ошибок Гаусса erf часто встречается в инженерной практике:
Значения функции ошибок Гаусса затабулиррваны в приложении III и представлены графически на рис. 3.4.
Ш
Рис. 3.4. Распределение температуры в полубесконечном твердом теле при внезапном изменении температуры поверхности.
Плотность ^коидуктивного теплового потока, поступающего в полубесконечное твердое тело, можно найти, применяя закон
1) Многочисленные аналитические решения дифференциального уравнения теплопроводности для тел различной формы при разнообразных граничных условиях приведены в монографиях А. В. Лыкова: Теплопроводность и диффузия.— M.: Гостехиздат, 1941; Теплопроводность нестационарных процессов.— М. — Л.: Госэнергоиздат, 1948; Теория теплопроводности. — M.: Высшая школа, 1967. Там же широко представлены вспомогательные графики и диаграммы, — Прим. ред.
Нестационарная теплопроводность 137
Фурье на поверхности:
«*»—*fL—k*-TiM«(ijr)]L-
или ?''(/)=-^?^? (3.16)
<yitat
Общее количество тепла, поступающее в тело вследствие теплопроводности за период времени от t = О до / = /, составляет t t
Q»(t) = [ q» (t) dt = к {TsZlo) [ Г1/2 dt,
или _
СГ(0=2к(Т9-Т0)^/^. (3.17)
Случай II. Конвективное граничное условие
Вместо изменения температуры поверхности полубесконечного тела можно принять условие воздействия на поверхность жидкости с температурой T00 при среднем значении коэффициента конвективной теплоотдачи Яс. Тепло, поступающее к поверхности тела от жидкости вследствие конвекции, распространяется в нем посредством теплопроводности. Граничное условие для задачи такого типа имеет вид
К [T00 - T (О, 0] = - k (U) Ц. (3.18)
Решение уравнения (3.11) при начальном условии (3.12) и двух граничных условиях (3.13) и (3.18) определяется соотношением [5]
Г(/'І7Г° = 1 - erf I - {exp [Bi + T1] [ 1 - erf (і + V?)]}. (3.19)
1 OO Ч
где % = УР/4^Г = Fo-1'2^; Fo = at/x2;
Bi = hcx/k) ti = hlat/k2 = Bi2 Fo.
Итак, распределение безразмерной температуры в полубесконечном твердом теле с постоянной начальной температурой, на поверхность которого начиная с момента t = О воздействует жидкость с температурой Гоо, является функцией только чисел Био и Фурье. Для наглядности на рис. 3.5 представлены результаты расчета по формуле (3.19).
Соотношения для распределения температуры и теплового потока, полученные в этом разделе, справедливы только для полубесконечного тела. В этой связи возникает логичный вопрос: насколько велики должны быть размеры твердого тела, чтобы его можно было считать полубесконечным? Разумеется, если значения времени, при которых требуется найти решение, так
/
138 Глава з
малы или коэффициент теплопроводности так низок, что температура на рассматриваемой глубине твердого тела конечных размеров не изменяется по сравнению с начальным значением, такое тело тоже можно считать полубесконечным. Согласно
Рис. 3.5. Распределение температуры в полубесконечном твердом теле, на поверхности которого происходит конвективная теплоотдача к внешней среде, имеющей температуру 71«,.
Крейту [6], большую пластину толщиной L можно считать по-лубесконечной, если выполняется условие
Следовательно, распределение температуры в пластине конечной толщины, удовлетворяющей условию (3.20), будет описываться соотношением (3.15) или (3.19) в зависимости от граничного условия (случай I или случай II соответственно).
Пример 3.2. Большой плоский нагреватель с температурой поверхности 1000C положен на землю (А; = 2,0 Вт/(м-град), а = 5-Ю'7 м2/с). Почва вначале имела постоянную температуру 150C Найти температуру на глубине 5 см под нагревателем через 2 ч его работы. Определить общее количество тепла на единицу площади, отведенное в почву за первые 2 ч.
Решение. Земля является полубесконечным телом, а нагреватель находится в непосредственном контакте с землей. Следовательно, граничное условие соответствует случаю I, и распределение температуры определяется соотношением (3.15)
Fo = -?-<l,0.
(3.20)
т (х, t) - Ts
T0-T5
erf
\2УоГ / L 2 л/б-Ю-7-7200
= erf 0,417,
T(x, /)-100 XAJ,„
15-IQO--erf 0,417 = 0,445,
или T(x, t) — 62,2°C
Нестационарная теплопроводность 139
Общее количество тепла на единицу площади, отведенное в течение 2 ч, рассчитывается по формуле (3.17):
Q" (t) » 2k (T8 - Го) Д/— = 2 (2,0) (100 - 15) л/— V ла V я
7200
(5-Ю-7)
= 2,3 • 107 Вт • с/м2 = 6,39 кВт • ч/м2-
Пример 3.3. Большая стальная пластина имеет вначале постоянную температуру 300°С. Пластину нужно охладить воздухом с температурой 50°С, омывающим одну ее сторону. Толщина пластины 10 см, коэффициент температуропроводности Ю-5 м2/с, коэффициент теплопроводности 40 Вт/(м-град), коэффициент конвективной теплоотдачи от пластины к воздуху 400 Вт/(м2Х X град). Сколько времени нужно пропускать воздух над поверхностью пластины, чтобы температура ее поверхности понизилась до 200°С? Каковы температуры на расстоянии 1 и 10 см от поверхности в момент времени, когда температура поверхности достигнет 200°С?
