Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Fo(I +Bi)< і
Го^-І^оХГа*+Г,'+¦^ +¦^+(BOr-I+ Fo(3+B0<i + [1-4(Fo)-I(FoXBi)Ir6'
160 Глава З
расчета по формуле (3.27) не будут противоречить второму началу термодинамики в том случае, если
Fo < 0,5,
l-2Fo>0. (3-31)
Это ограничение на величину числа Фурье часто рассматривается в качестве критерия устойчивости. Если число Фурье больше 0,5, то говорят, что решение для температуры неустойчиво. Отметим, что критерий устойчивости удовлетворяется, если коэффициент при Го в соотношении (3.27) положителен. Это условие является общим, и его можно доказать математически [7].
Критерий устойчивости для граничных узлов отличается от критерия устойчивости для внутренних узлов. Если мы хотим найти критерий устойчивости для граничного узла, в котором происходит конвективная теплоотдача к окружающей среде, мы можем потребовать, чтобы коэффициент при Го в соотношении (3.29) был положительным:
1 -2Fo-2Fo Ві>0, или Fo(I+ Ві)< 0,5. (3.32)
В конкретной задаче теплопроводности разностные уравнения баланса энергии как для внутренних, так и для граничных узлов должны быть устойчивыми. Например, если мы выберем значение Fo = 0,25, чтобы, согласно критерию (3.31), температуры во внутренних узлах были устойчивыми, для устойчивости решения в граничном узле необходимо выполнить условие Bi 1,0 согласно критерию (3.32). Если число Фурье принять равным 0,5, то критерий устойчивости для граничного узла удовлетворить невозможно, поскольку, согласно соотношению (3.32), требуется, чтобы число Био было отрицательным.
Уравнения баланса энергии для внутренних узлов в двумерных и трехмерных задачах можно вывести без труда с помощью метода, аналогичного методу, используемому при выводе соотношения (3.27). Можно также вывести уравнения баланса энергии для граничных узлов в двумерных и трехмерных задачах при различных граничных условиях.
В табл. 3.4 представлена сводка уравнений баланса энергии для внутренних и граничных узлов. Для каждого уравнения приведен критерий устойчивости. Этот критерий должен удовлетворяться для каждого уравнения, чтобы результаты расчета температуры были устойчивыми. Каждое уравнение записано для рассматриваемого узла 0, а нумерация остальных узлов показана на специальных рисунках в таблице.
Нестационарная теплопроводность 161
Пример 3.7. Большая толстая плита [? = 40 Вт/(м-град), а = ЗХ X Ю-"5 м2/с] имеет постоянную температуру 200°С. Поверхность плиты внезапно погружается в жидкость с температурой 100°С, коэффициент конвективной теплоотдачи к жидкости от поверхности плиты 500 Вт/(м2-град). Найти изменение температуры плиты в течение первой минуты после погружения в жидкость.
К примеру 3.7.
Решение. Плита разделяется на слои с узлами, как показано на рисунке, и нумерация узлов начинается от поверхности. Если учесть теплоемкость граничного узла, то температура T(t + Af) в граничном узле определяется соотношением (3.29):
Tt+M s 2Fo |-r* + Bi T00] + [1 — 2Fo - 2Fo Bi ] Т\.
Все остальные узлы являются внутренними, и поэтому для произвольного узла, обозначенного индексом /, применимо соотношение (3.27):
Т\+М « Fo [Т\_х + Г{+1] + [1 - 2Fo] Т\.
Критерий устойчивости для граничного узла
Fo(I+ Bi)< 0,5,
а для внутренних узлов
Fo < 0,5.
Выберем удовлетворяющие этим критериям значения Fo *= о&А*7(А#)2 в 0,25 и Bi = fic&x/k = 0,5. Поскольку число Био выбрано, известна величина шага по пространству
а * 40
А* = —r-^ = —-=е0,04 м&4 см.
2he 2 - 500
Шаг по времени ограничивается выбранной величиной числа Фурье:
A^jAjOl _ 13,33 с
4а 4(3.10"5)
Выбор чисел Био и Фурье осуществлен произвольно, но с учетом критериев устойчивости. Можно применить другой подход к решению задачи. Можно сначала выбрать величины Ал: и А/, а затем вычислить значения Fo и Bi. Если найденные значения Fo и Bi не удовлетворяют критериям устойчивости, ве* личины Ал: и At изменяют таким образом, чтобы эти критерии удовлетворя* лись.
Теперь проведем расчет температур в узлах, отстоящих друг от друга на 4 см в последовательные моменты времени с интервалом 13,33 с. Температуры в промежуточных точках или в промежуточные моменты времени можно
6 Зак. 487
162 Глава З
найти путем интерполяции. Температуры во всех внутренних узлах рассчитываем по формуле
Г J+A* = 0,25 + 7J+1) + 0,57j,
а температуру в граничном узле — по формуле
T\+At = 0,5 (ТІ + 0,Sr00) + 0,257(. Результаты расчета температур представлены в таблице.
Температура, ?С
Время, Узел1, Узел 2, УзелЗ, Узел \ Узел 5,
с х*0 * »4 см ж «8см х~12см ^ х=16см
0 200 200 200 200 200
13,33 175 200 200 •200 200
26,67 168,8 193,9 200 200 200
40,00 164,1 189,1 198,5 200 200
53,33 160,6 185,2 196,5 199,6 200
$6,67 157,8 181,9 194,5 198,9 199,9
Пример 3.7 можно решить аналитически, решение выражается соотношением (3.19). Для проверки точности численного решения в приведенной ниже таблице результаты расчета температур по формуле (3.19) сравниваются с численным решением в момент времени t я= 66,67 с.
Значения температуры (0C) в момент времени f=66,67 с для примера 3.7
