Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Соотношения для изменения температуры по времени и теплового потока в случае пренебрежимо малого внутреннего термического сопротивления применимы и для другого важного класса задач. Если твердый материал заменить жидкостью, которая непрерывно перемешивается, так что в любой момент времени в жидкости отсутствуют перепады температуры, жидкость будет иметь очень малое внутреннее термическое сопротивление по сравнению с внешним конвективным термическим сопротивлением. Для такой хорошо перемешанной жидкости, как ее называют, применимо соотношение (3.8), определяющее мгновенную температуру жидкости; мгновенный тепловой поток определяется формулой (3.9), а суммарные потери тепла — соотношением (3.10).
В разд. 2.7 отмечалась аналогия между потоком тепла и электрическим током для установившейся системы. Такая же аналогия существует и для нестационарного потока тепла от тела с пренебрежимо малым внутренним термическим
134 Глава З
сопротивлением. Две такие аналогичные системы проиллюстрированы на рис. 3.2, где выписаны аналогичные друг другу уравнения сохранения и решения для температуры в тепловой системе и для электрического потенциала в электрической системе. Если сравнить уравнения сохранения для обеих систем (рис. 3.2), то можно видеть, что термическое сопротивление конвективного слоя равно 1/ЯсЛ5. Кроме того, теплоемкость твердого тела Ct = pVc. Теплоемкость пропорциональна произведению массы на удельную теплоемкость твердого материала. Следовательно, тело из материала с большей удельной теплоемкостью будет медленнее реагировать на внешнее изменение температуры, чем тело той же массы из материала с более низкой удельной теплоемкостью. Об объекте с более медленной реакцией на изменение температуры говорят, что он имеет большую теплоемкость.
Пример 3.1. Шарикоподшипники из хромистой стали [k = 50 Вт/(м X X град), a = 1,3•1O-5 м2/с] подвергаются термической обработке. Они нагреваются до температуры 650°С, а затем резко охлаждаются в ванне с маслом, имеющим температуру 550C Диаметр шарикоподшипника 4,0 см. Коэффициент теплоотдачи от шарикоподшипника к маслу 300 Вт/(м2-град). Определить: а) сколько времени подшипники должны оставаться в масле, пока их температура не снизится до 200°С; б) общее количество тепла, отданное каждым подшипником за это время; в) значения мгновенного теплового потока от подшипников в моменты времени, когда они погружаются в масло и когда их температура достигает 200°С.
Решение. Чтобы определить, выполняется ли для подшипников условие пренебрежимо малого внутреннего термического сопротивления, проверим сначала величину числа Био:
Ej_^ hcL _^ hg (VIA8) hc(r/3) ^ 300(0,02/3) ^QQ1 k k k 50
Поскольку число Био меньше 0,1, применимы соотношения, полученные в этом разделе, и погрешность результатов расчета будет невелика. Можно выразить число Фурье через искомое время:
F _ _ а* _ 1,3» 10~5 . L2 ~~ (r/3)2 ~ (0,02/3)2 *
а) Время, необходимое для снижения температуры шарикоподшипников до 200°С, определяется с помощью формулы (3.8):
200 — 55 ^-(0,04) (0,2930
650 — 55
Отсюда t г= 120,5 с, что соответствует числу Фурье 35,31. б) Общее количество тепла, отданное каждым подшипником в течение первых 120,5 с, равно
Q = hcAs (T0 - T00) [1 - е~т F°]
Bi Fo
. 300 • An (0,02)2 (650 - 55) [l - в-<о.М)<зв.зі)] = 5,79 • 104 Дж.
Нестационарная теплопроводность 135
в) Мгновенный тепловой поток при / = О (или Fo = O) составляет q = hcAs (Го - T00) = 300. 4я (0,02)2 (650 - 55) = 897 Вт, а при / = 120,5 с (Fo = 35,31) мгновенный тепловой поток равен q = hcAs (Го - T00) е~В[ Fo = 300 • 4я (0,02)2 (650 - 55) е-(0.04)(35,зі) = 218 Вт
3.3. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
Полубесконечным твердым телом можно считать большое тело с одной плоской поверхностью. Хорошим примером полубесконечного тела является земля. Если температура поверхности земли изменяется, тепло отводится в землю, и поскольку ее размеры можно считать бесконечными, температура зависит от расстояния от поверхности земли X и от времени ty т. е. в математической форме T=T(x,t). Основное уравнение (2.6) для случая нестационарной теплопроводности в полубесконечном твердом теле упрощается и принимает вид
дЧ 1 дТ (3.11)
дх2
а dt
Рис. 3.3. Полубесконечное твердое тело.
где координата х измеряется от поверхности (рис. 3.3).
Прежде чем перейти к решению уравнения (3.11), следует задать одно начальное и два граничных условия. Начальное условие записывается следующим образом:
T (х9 0) = T0. (3.12)
Это означает, что в начальный момент времени ? = О все полу* бесконечное твердое тело имеет постоянную температуру T0'.
Одно из граничных условий требует, чтобы температура материала на бесконечно большом расстоянии от поверхности оставалась постоянной по времени:
Г(оо,/) = Г0. (3.13)
Теперь, задавая различные варианты второго граничного условия, можно найти соответствующие решения. Рассмотрим два возможных случая.
Случай L Изотермическое граничное условие
136 Глава З
Одно из возможных граничных условий, которое физически сравнительно легко осуществить, состоит в том, чтобы внезапно изменить температуру поверхности (х = 0) до величины Ts и поддерживать ее постоянной. Изотермическое граничное условие можно выразить математически следующим соотношением:
